何继刚

【摘 要】“函数零点存在性定理”是函数的一个核心定理，它蕴涵了丰富的数学思想和思维方式，揭示了函数与方程的基本关系和转化的路径，是进一步研究函数问题的基础，是判定函数零点、沟通方程与函数的重要工具。因此，对该定理的理解和应用的教学过程，不应是知识积累的线性过程，而应是数学思维方式和能力的“孕育”过程。

【关键词】函数零点 存在性

数学理解有三种方式，即记忆性理解、解释性理解和探究性理解。其中，记忆性理解的教学只要求学生记住事实材料，通过机械记忆、模仿与简单套用，反复训练学生的记忆能力。解释性理解的教学通过教师对原理、理论的系统讲解发展学生的理解能力，但学生得到的仍是教师传授的内容，而不是学生自己的领悟。探究性理解的教学则是以问题为中心，引起学生对重要问题产生困惑，通过对话和交流引导学生独立探索发现规律和建构知识的意义。

“函数零点存在性定理”是“函数与方程”单元的核心定理，该定理的教学常采用基于记忆性理解、解释性理解的方式教学，这样的教学缺乏对定理条件的赏析，显得对该定理的教育价值挖掘不够。笔者尝试综合运用三种数学理解，力求让学生达到探究性理解的水准。

一、资源分析

1.教学目标。

教师应引导学生学习审视定理条件的科学方法。使学生理解函数零点的概念，能结合具体问题，理解方程的根、函数的零点、函数图象与轴的交点三者之间的关系。从而让学生初步应用函数零点存在性定理，解决方程根的存在性问题，悟出求近似解的方法。

2.教学重点。

了解函数零点的概念，通过函数图象直观感知函数零点存在性定理，初步了解应用定理估算方程根的范围的方法。

3.教学难点。

对函数零点存在性定理的条件的探究性理解和定理的应用。

二、教学过程

1.通过展示与追问，引导学生深度参与探究性学习定理的过程。

为了探究性理解函数零点存在性定理，笔者安排了如下例题，让学生板演展示，引发追问和思考。

判断函数f（x）=x2-2x-1在区间（2，3）上是否存在零点。

设计意图：通过对以上问题的探讨，生成“函数零点存在性定理”的表象，激发学生产生寻找判定零点存在的动机，将函数零点存在的条件显性化。

方法一：由x2-2x-1=0

得x1=1+■，x2=1-■，

∵2<1+■<3

∴函数f（x）=x2-2x-1在（2，3）上有零点。

方法二：∵f（2）=4-4-1=-1<0，f（3）=9-6-1=2>0

又∵y=f（x）在（2，3）上的图象为不间断的曲线。

∴y=f（x）在（2，3）上存在零点。

师：这两种解法各有特色，方法一基于方程的求解运算，方法二基于函数思想，试问哪种方法更值得推广？

生：许多方程难解，因此方法二值得推广。

师：能否从上述方法二的思想中抽象出一般结论呢？

顺理成章，引出如下问题。

函数y=f（x）在区间（a，b）上有f（a）·f（b）<0，那么函数y=f（x）在（a，b）上是否一定存在零点？请举例说明。

设计意图：引导学生通过举反例，说明以上条件还不能确定函数y=f（x）在（a，b）上一定存在零点。

面对问题，很快就有学生举出反例。

生：f（x）=■在区间（-1，1）上有f（-1）·f（1）<0，但是f（x）=0在（-1，1）上没有实数根。

师：如何弥补条件的不足？

生：只要函数y=f（x）在区间（a，b）上的图象连续不断就可以了。

于是，题目可以往更深层次地进行派生。

函数y=f（x）在（a，b）上有f（a）·f（b）<0，且在（a，b）上的图象不间断，问y=f（x）在（a，b）上一定有零点吗？

设计意图：引导学生举反例，说明以上条件还不能确定函数y=f（x）在（a，b）上一定存在零点。

面对这一问题，学生很难找到思维的切入点，根据提示，学生很快对区间（a，b）产生了质疑，但区间对结论会产生什么影响呢？

师：是否存在函数y=f（x）在[a，b]上有f（a）·f（b）<0且在（a，b）上的图象不间断，但y=f（x）在（a，b）上没有零点呢？

请一名认为“确定存在”的学生在黑板上作出图示，如图。

师：不难发现，图中的函数在[a，b]上的图象是间断的，而在（a，b）上不间断，它导致函数y=f（x）在（a，b）上没有零点。为了深化理解，师生互动又构造了如下图所示的反例。

至此，该设计成功引导学生归纳出了如下“函数零点存在性定理”：

若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点。

针对函数y=f（x）在（a，b）上零点的个数，可将题目继续派生。

函数y=f（x）在[a，b]上的曲线不间断，且f（a）·f（b）<0，问y=f（x）在（a，b）上是否有且只有一个零点？

设计意图：引导学生通过作图举例进行探究性理解，感知零点个数的不确定性。

经过师生互动，作出如图所示的有5个零点和有无数个零点（图象含有一线段在轴上）的实例。

问：在什么条件下，函数y=f（x）在（a，b）上有且只有一个零点？

设计意图：引导学生对函数y=f（x）在（a，b）上有且只有一个零点的条件进行探究性理解。

基于以上的探究性理解，学生很快得到如下结论：

若函数y=f（x）在区间[a，b]上单调，其图象是一条不间断的曲线，且f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在区间上有且只有一个零点。

2.通过问题解决，引导学生深度感知定理的应用。

问题解决是基于探究性理解的教学的深化点，它能使学生加深对数学知识的理解，实现知识和方法的有效迁移。为此，本课安排如下的练习。

函数f（x）=lg x-3+x的零点有几个？它所在大致区间是什么？

设f（x）=lg x-3+x，方程lg x=3-x有几个解■函数f（x）=lg x-3+x有几个零点。

至此，将学生带入应用“函数零点存在性定理”解决问题的深度思考状态，这让学生经历了“提出问题——分析问题——寻求理论依据——问题解决”的认知过程。

在经历了探究性教学、解释性教学后，我引导学生回顾反思，将预设与生成进行有机整合，发展学生调控自己学习数学认知过程的反思能力。本课捕捉了如下反思点，进行解释性和记忆性的教学。

（1）知识与技能：①函数零点的概念；②函数零点的存在性定理。

（2）数学思想：①函数与方程的思想；②数形结合思想；③转化思想；④构造的思想。

（3）几个典型反例。

3.通过“做”与“诊”，引导学生深度诊断对定理的理解。

“做”与“诊”是相辅相成的，这两个环节要完成两项任务。其一，通过巩固性作业，诊断和拓展对“函数零点存在性定理”的理解；其二，完成预习性作业，目的是为了下一课深入学习“函数零点存在性定理”的应用。

三、教学反思

1.用问题链深度引领学生开展对定理条件的理解性活动。

数学教学过程是数学活动的过程，是数学思维活动的过程。让学生动起来是产生数学思维活动的关键，而学生活动的驱动力来源于问题。因此，设计有思维价值的问题链来深度引领学生开展对定理条件的理解性活动，是实施探究性理解教学的关键。

2.用问题链构建基于探究性理解的教学。

用问题链构建基于探究性理解的教学，促进知识有效生成。

（1）“导与学”中设计问题链的目的是深度引领，是为了激发学生探求“函数零点存在性定理”的欲望，让学生对这些问题进行讨论，参与寻找存在函数零点条件的过程，引导学生通过函数图像，直观感知、理性思考零点存在的条件，由此形成对定理的理解性活动，为学生深度学习审视定理的方法、教师进行深度教学创造条件。

（2）“展与评”过程是引导学生深度参与问题探究的过程，通过举反例，学生能直观感知定理条件，学会一种学习定理的套路，体会函数“集形与数于一身”的特征的理论根源，这一互动过程使学习重点得到深化，形成互动式的多维度的深度学习过程。

（3）“练与思”是引导学生深度思考定理条件的过程，它是预设与生成结合的过程，借助这一过程可以展示一个应用定理，使学生学会函数与方程转化，让学生认识到“函数零点存在性定理”是沟通代数、几何的一种工具，具有沟通函数与方程的作用。

（4）“做与诊”的过程是深度拓展的过程，是课后练习巩固的过程，这一过程使学生对“函数零点存在性定理”的理解得到深化，使学生在定理应用中产生深度学习的愿望。

【参考文献】

徐彦辉，数学理解三种方式及其课堂教学特征[J].中国教育学刊，2012（1）.

（作者单位：江苏省扬州大学附属中学）

若函数y=f（x）在区间[a，b]上单调，其图象是一条不间断的曲线，且f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在区间上有且只有一个零点。

2.通过问题解决，引导学生深度感知定理的应用。

问题解决是基于探究性理解的教学的深化点，它能使学生加深对数学知识的理解，实现知识和方法的有效迁移。为此，本课安排如下的练习。

函数f（x）=lg x-3+x的零点有几个？它所在大致区间是什么？

设f（x）=lg x-3+x，方程lg x=3-x有几个解■函数f（x）=lg x-3+x有几个零点。

至此，将学生带入应用“函数零点存在性定理”解决问题的深度思考状态，这让学生经历了“提出问题——分析问题——寻求理论依据——问题解决”的认知过程。

在经历了探究性教学、解释性教学后，我引导学生回顾反思，将预设与生成进行有机整合，发展学生调控自己学习数学认知过程的反思能力。本课捕捉了如下反思点，进行解释性和记忆性的教学。

（1）知识与技能：①函数零点的概念；②函数零点的存在性定理。

（2）数学思想：①函数与方程的思想；②数形结合思想；③转化思想；④构造的思想。

（3）几个典型反例。

3.通过“做”与“诊”，引导学生深度诊断对定理的理解。

“做”与“诊”是相辅相成的，这两个环节要完成两项任务。其一，通过巩固性作业，诊断和拓展对“函数零点存在性定理”的理解；其二，完成预习性作业，目的是为了下一课深入学习“函数零点存在性定理”的应用。

三、教学反思

1.用问题链深度引领学生开展对定理条件的理解性活动。

数学教学过程是数学活动的过程，是数学思维活动的过程。让学生动起来是产生数学思维活动的关键，而学生活动的驱动力来源于问题。因此，设计有思维价值的问题链来深度引领学生开展对定理条件的理解性活动，是实施探究性理解教学的关键。

2.用问题链构建基于探究性理解的教学。

用问题链构建基于探究性理解的教学，促进知识有效生成。

（1）“导与学”中设计问题链的目的是深度引领，是为了激发学生探求“函数零点存在性定理”的欲望，让学生对这些问题进行讨论，参与寻找存在函数零点条件的过程，引导学生通过函数图像，直观感知、理性思考零点存在的条件，由此形成对定理的理解性活动，为学生深度学习审视定理的方法、教师进行深度教学创造条件。

（2）“展与评”过程是引导学生深度参与问题探究的过程，通过举反例，学生能直观感知定理条件，学会一种学习定理的套路，体会函数“集形与数于一身”的特征的理论根源，这一互动过程使学习重点得到深化，形成互动式的多维度的深度学习过程。

（3）“练与思”是引导学生深度思考定理条件的过程，它是预设与生成结合的过程，借助这一过程可以展示一个应用定理，使学生学会函数与方程转化，让学生认识到“函数零点存在性定理”是沟通代数、几何的一种工具，具有沟通函数与方程的作用。

（4）“做与诊”的过程是深度拓展的过程，是课后练习巩固的过程，这一过程使学生对“函数零点存在性定理”的理解得到深化，使学生在定理应用中产生深度学习的愿望。

【参考文献】

徐彦辉，数学理解三种方式及其课堂教学特征[J].中国教育学刊，2012（1）.

（作者单位：江苏省扬州大学附属中学）

若函数y=f（x）在区间[a，b]上单调，其图象是一条不间断的曲线，且f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在区间上有且只有一个零点。

2.通过问题解决，引导学生深度感知定理的应用。

问题解决是基于探究性理解的教学的深化点，它能使学生加深对数学知识的理解，实现知识和方法的有效迁移。为此，本课安排如下的练习。

函数f（x）=lg x-3+x的零点有几个？它所在大致区间是什么？

设f（x）=lg x-3+x，方程lg x=3-x有几个解■函数f（x）=lg x-3+x有几个零点。

至此，将学生带入应用“函数零点存在性定理”解决问题的深度思考状态，这让学生经历了“提出问题——分析问题——寻求理论依据——问题解决”的认知过程。

在经历了探究性教学、解释性教学后，我引导学生回顾反思，将预设与生成进行有机整合，发展学生调控自己学习数学认知过程的反思能力。本课捕捉了如下反思点，进行解释性和记忆性的教学。

（1）知识与技能：①函数零点的概念；②函数零点的存在性定理。

（2）数学思想：①函数与方程的思想；②数形结合思想；③转化思想；④构造的思想。

（3）几个典型反例。

3.通过“做”与“诊”，引导学生深度诊断对定理的理解。

“做”与“诊”是相辅相成的，这两个环节要完成两项任务。其一，通过巩固性作业，诊断和拓展对“函数零点存在性定理”的理解；其二，完成预习性作业，目的是为了下一课深入学习“函数零点存在性定理”的应用。

三、教学反思

1.用问题链深度引领学生开展对定理条件的理解性活动。

数学教学过程是数学活动的过程，是数学思维活动的过程。让学生动起来是产生数学思维活动的关键，而学生活动的驱动力来源于问题。因此，设计有思维价值的问题链来深度引领学生开展对定理条件的理解性活动，是实施探究性理解教学的关键。

2.用问题链构建基于探究性理解的教学。

用问题链构建基于探究性理解的教学，促进知识有效生成。

（1）“导与学”中设计问题链的目的是深度引领，是为了激发学生探求“函数零点存在性定理”的欲望，让学生对这些问题进行讨论，参与寻找存在函数零点条件的过程，引导学生通过函数图像，直观感知、理性思考零点存在的条件，由此形成对定理的理解性活动，为学生深度学习审视定理的方法、教师进行深度教学创造条件。

（2）“展与评”过程是引导学生深度参与问题探究的过程，通过举反例，学生能直观感知定理条件，学会一种学习定理的套路，体会函数“集形与数于一身”的特征的理论根源，这一互动过程使学习重点得到深化，形成互动式的多维度的深度学习过程。

（3）“练与思”是引导学生深度思考定理条件的过程，它是预设与生成结合的过程，借助这一过程可以展示一个应用定理，使学生学会函数与方程转化，让学生认识到“函数零点存在性定理”是沟通代数、几何的一种工具，具有沟通函数与方程的作用。

（4）“做与诊”的过程是深度拓展的过程，是课后练习巩固的过程，这一过程使学生对“函数零点存在性定理”的理解得到深化，使学生在定理应用中产生深度学习的愿望。

【参考文献】

徐彦辉，数学理解三种方式及其课堂教学特征[J].中国教育学刊，2012（1）.

（作者单位：江苏省扬州大学附属中学）