谭忠仁

“化圆为方”是数学三大作图难题之一，作者在“尺规作图，三等分任意角”作图方法的基础上，给出“化圆为方”的作图方法，既准确，又简捷，并给出科学严谨的证明.圆弧和线段原本不是同类量，但在谭老师所作图形的相互制约下，特定的圆弧与线段可以等点，特定的圆弧与线段可以等长，这无疑是一个数学先例，如同把一根线绕在圆柱上，令其两端恰好衔接，此时这根线构成了一个圆周，当我们把线取下，拉直，它扔然是一条线段，由此可见，圆弧线与线段是可以等长的.

证明如下：

已知：⊙O的半径为R，面积为πR2，

求作：正方形ABCD，使正方形ABCD面积= ⊙0的面积.

作法：

在⊙O内引直径AE和直径FG，并且使AE⊥FG；

取 的中点G1，连结G1G；

G1G的垂直平分线MT，交GA的延长线于T、H为垂足；

连结TG1，连结AF；

在AG上截取AT4，使AT4=R；

在GT的延长线上，依次截取TT1=T1T2=T2T3=TA；

以T4T3为直径作⊙O1；

作AB⊥T4T3，A为垂足交⊙01于B；

作BC1⊥AB，B作为垂足；

在射线BC1上截取BC，使BC=AB；

在AT3上截取AD，使AD=AB；

连结CD.

则四边形ABCD即是所求作的正方形.

证明： 1. MT是G1G的垂直平分线 TG1=TG

△TG1G为等腰三角形，AE⊥FG，OF=OG.由于等腰三角形TG1G和等腰三角形AFG特定的位置关系和制约关系，我们可作出下面的辅助线：在线段TA上取任意一点T5，以T5为圆心，以T5G为半径画弧，必交于 上，令其交点为N，连结T5N，连结NG，则易知△T5NG为等腰三角形，再在线段TA上任意取一点T6，以T6为圆心，以T6G为半径画弧，必交于 上，令其交点为N1，连结T6N1，连结N1G，则易知△T6N1G为等腰三角形，如果继续在TA上取点按同样方法作下去，就可以作出类似于等腰三角形T5NG，等腰三角形T6NG的无数个等腰三角形，加之等腰三角形TG1G，等腰……