林文贤

（韩山师范学院数学与统计学系，广东潮州 521041）

1 引 言

20世纪80年代以来，由于生物遗传工程、化学反应过程、人口动力学及其它一些问题中出现了含时滞变元的偏微分方程，因而对于时滞变元的偏微分方程解的性态研究越来越受到人们的关注．部分作者对具有时滞的椭圆型、抛物型和双曲型偏微分方程的振动性进行了研究，如文献[1-15]，但对于高阶偏泛函微分方程振动性研究的文章较少[16-20]．本文将研究如下的具有非线性扩散系数的高阶中立型偏泛函微分方程

分别在边值条件

下解的振动性质，获得了其所有解振动的充分判据，结论充分表明了时滞量的决定性作用．其中n 为偶数， Δu 是RN中的Laplacian 算子， Ω ⊂RN是具有逐片光滑边界∂Ω 的有界区域， R+=[)0,∞ ,且ν 是∂Ω 的单位外法向量．当n=2,b()t ≡1 时，方程（E）就是文献[4]所研究的方程，因而本文的结论推广和包含了文献[4]的结果．

假设下列条件（H）成立：

引理1[21]设为常号，在上且满足则（i）存在ty≥t0使得y()i()t 在[)ty,∞上常号，i=1,2,…,n-1.

（ii）存在ℓ ∈{0,1,2,… }n-1 ，n+ℓ 为奇数，使得

引理2[22]设满足引理1的条件，且则对每存在常数M ＞0使得

2 主要结果

则边值问题（E），（B1）的所有解在G上振动．

证明 假设u(x,t)是问题（E），（B1） 的一个非振动解,不失一般性，不妨设的情形，令可类似证明）．由条件（H2），存在t1≥t0,使得当有

将方程（E）两边在Ω上关于x 积分，有

由Green公式和边值条件（B1）及（H3）得

其中dS 是∂Ω 上的面积元素．

又根据（H1），（H3）有

令V(t)=∫Ωu(x,t)dx，显然，于是由（2）-（5）可得

取i=1,得Z′()t >0,t ≥t3．于是，由引理1，存在t2≥t1，使得

又由（6）式有

从而有

进而，有

注意到（7）、（8）及（H2），由（10）得

令

于是由（11），（12）式有

对上述的不等式从t2到t(≥t2)积分得

推论1 若将条件（1）换成微分不等式（9）无最终正解，则边值问题（E），（B1）的所有解在G上振动．

在定理1中，若φ(t)恒为正常数，则有

定理2 若将条件（1）换为

成立，则定理1的结论仍然成立．

引理3[23]设α0是如下Dirichlet特征值问题：

由Green公式和边值条件（B2）有

又由（H1）和（H2）有

于是，由（14）-（17）有

因此得

从而有

进而，有

令

于是由（23）和（24）式有

对上述的不等式从t2到t(≥t)2积分得

由微分不等式（18）有

类似于定理1的证明，可得如下结果：

则边值问题（E），（B2）的所有解在G上振动．

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