与圆有关的实际应用题
2014-10-29吉阿琴
吉阿琴
在实际生活中，与圆有关的问题很多，灵活应用圆中的有关知识可以顺利地解决许多生活中的实际问题.
一、 与垂径定理相关的应用题
例1 圆柱形油槽内装有一些油.截面如图1，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（ ）.
A. 6分米
B. 8分米
C. 10分米
D. 12分米
【解析】如图1，作OC⊥AB于C，根据垂径定理知：OC垂直平分AB，所以AC=AB=3（分米），设OC=x（分米），油面AB上升1分米到EF的位置，EF交OC于D，易知OD⊥AB，EF=8（分米），所以DE=EF=4（分米），OD=（x-1）分米，由OA=OE，有x2+32=（x-1）2+42，解得x=4（分米），所以OA=5（分米），即圆柱形油槽直径MN为10分米，选C.
二、 与确定圆的条件相关的应用题
例2 （用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，图2是水平放置的破裂管道有水部分的截面. 请你补全这个输水管道的圆形截面.
【解析】这是一道与确定圆的条件有关的实际问题，只要在圆上取三个点A、B、C，作AC、BC的垂直平分线EF、GH，它们的交点O就是圆心，AO就是半径，从而可作出原来的圆形截面.
三、 与圆周角相关的实际应用题
例3 如图3，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻.当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点. 有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门. 仅从射门角度考虑，应选择_____种射门方式.
【解析】如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两点各自对球门PQ张角的大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截.因此，只需比较∠PAQ与∠PBQ的大小. 过P、Q、B三点作圆（也可过P、Q、A），分以下三种情况讨论：（1） A点在☉O外，连接PA交☉O于点C，则∠PAQ<∠PCQ，∠PCQ=∠PBQ，∴∠PAQ
【点评】在真正的足球比赛中，情况会很复杂，这里仅用数学方法从静止状态加以考虑.
四、 与点和圆的位置有关的实际应用题
例4 如图4，公路MN和公路PQ在P点交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160 m，假如拖拉机行驶时周围100 m以内会有噪声影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由.如果受到影响，已知拖拉机行驶的速度为18 km/h，那么学校受影响的时间为多少？
【解析】（1） 要看学校是否受到影响，只要求出点A到MN的最小距离与100米进行比较即可. 过点A作AD⊥MN于点D. 在Rt△ADP中，∠APD=30°，AD=AP=×160=80（m）<100（m）.所以学校会受到噪声的影响；（2） 要求学校受影响的时间，要先求出学校受噪声影响的路段.因为100米内的圆形区域为受影响的区域，☉A与MN的交点之间的线段为受影响路段，利用垂径定理求出弦BC的长即可.以点A为圆心，100米为半径的☉A与MN交于B、C两点，于是BC段即为学校受影响的路段.连接AB，在Rt△ABD中，BD==60（m）. ∵AD⊥BC，∴BC=2BD=2×60=120（m），因为拖拉机的速度为18 km/h，即5 m/s，120÷5=24（s）. 因此，学校受到噪声影响，受影响的时间为24秒.
【点评】当拖拉机移动到D点时，噪声的影响范围为以D点为圆心，100 m为半径的一个大圆，而点A在此大圆内. 本题较好地体现了直角三角形的有关定理与垂径定理的综合应用.
五、 与直线和圆的位置有关的实际应用题
例5 如图5，小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测锅的直径（锅沿所形成的圆的直径），而小红家只有一把长20 cm的直尺，根本不够长，怎么办？小红想了想，采用了以下的办法：如图5，首先把锅平放到墙根，锅沿刚好靠到两端，用直尺紧贴墙面量得MA的长（如图6），即可求出锅的直径.
（1） 请你利用图6说明她这样做的理由；
（2） 在现有条件下，你还能设计出另外一个可求出锅的直径的方法吗？如果能，请在图7中画出示意图，并说明理由（不必求出锅的直径）.
【解析】（1） 假设圆（锅沿所形成的圆）的圆心为O，连接OA、OB，∵MA、MB与☉O相切，∴∠OAM=∠OBM=90°. 又∵∠M=90°，OA=OB，∴四边形OAMB是正方形，∴OA=MA. ∴量得MA的长，再乘以2就是锅的直径. （2） 测量锅的直径的方法不唯一，各人可根据自己的具体情况去设计，下面只提供一个参考答案. 如图8，在锅的边上取三点A、B、C，使AB=AC，量得AB、AC、BC的长，就能求出锅的直径. 设锅的圆心为O，作直径AD交BC于点E，连接BD. 在 Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE，进而求出AD，即能求出锅的直径.
六、 与三角形内切圆有关的实际应用题
例6 如图9是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6 m和8 m. 按照输油中心O到3条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长是（ ）.（计算时视管道为线，中心O为点）
A. 2 m B. 3 m
C. 6 m D. 9 m
【解析】由O到三条支路的距离相等可知，本题可转化为求三角形内切圆的半径问题. 由勾股定理可得斜边为10，设内切圆半径为r，则利用面积法可得：r（6+8+10）=×6×8，解得r=2. 从而管道为2×3= 6（m），故选C.
【点评】本题的设计新颖别致，命题者独具匠心. 解决本题需巧用面积法解题，或利用切线长定理.
七、 与圆柱的侧面展开图有关的实际应用题
例7 从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层300格，每格11.4 cm×11 cm，如图10甲.用尺量出整卷卫生纸的半径（R）与纸筒内芯的半径（r），分别为5.8 cm和2.3 cm，如图10乙. 那么该两层卫生纸的厚度为多少cm？（π取3.14，结果精确到0.001 cm）
【解析】可利用甲和乙两图中的体积相等列方程求解. 设该两层卫生纸的厚度为x cm，则由题意可得方程：11×11.4×x×300=π（5.82-2.32） ×11，解得x≈0.026.
答：该两层卫生纸的厚度约为0.026 cm.
【点评】本题初看起来比较复杂，其实只要找出不变量问题即可迎刃而解.这里，甲和乙图中纸的体积不变，在甲图中，其体积为1格的体积的300倍，而1格的体积为11×11. 4×x（cm3）；在乙图中，其体积为两个圆柱体的体积之差. 从而可以快速地得到所要的方程.
八、 与圆锥的侧面展开图有关的实际应用题
例8 如图11是某工件的三视图，求此工件的全面积.
【解析】这是与三视图相关的圆锥全面积计算问题，它由两部分组成：一个是底面积，它是一个圆；另一个是侧面积，它的展开图是一个扇形. 应用它们的面积公式即可得到答案. 由三视图可知，该工件为底面半径为10 cm，高为30 cm的圆锥体，其母线长为=10（cm），因此它的侧面积为×20π×10=100π（cm2）， 底面积为102π=100π（cm2），所以它的全面积为100π+100π=100（1+）π（cm2）.
答：此工件的全面积为100（1+）πcm2.
【点评】计算扇形面积公式有两个：一个是S=，另一个是S=lr，在解题中要灵活应用，本题以用第二个公式比较简便.
九、 与其它学科相结合的圆的实际应用题
例9 某定滑轮的起重装置如图12，滑轮半径为12 cm，当重物上升4π cm时，滑轮的一条半径OA按逆时针方向旋转的度数为（ ）.（假设绳索与滑轮之间没有滑动）
A. 12° B. 30°
C. 60° D. 90°
【解析】这是一道与物理相结合的圆的实际应用题，解决它的关键是将重物上升的高度转化为弧长，再应用弧长公式去求圆心角的度数.由于重物上升的高度为4π cm，所以旋转角所对的弧长为4π cm，设旋转角的度数为n，由弧长公式有：=4π，又R=12，解得n=60°，选C.
【点评】本例是一个物理和数学两个学科交叉的试题，学科相互渗透，这是近几年中考命题的热点之一，应予以重视.
小试身手
1. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图13所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为______厘米.
2. 一个圆形人工湖如图14所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100 m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（ ）.
A. 50 m B. 100 m
C. 150 m D. 200 m
3. 如图15①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，测得CE=5 cm，将量角器沿DC方向平移2 cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC、BC相切，如图15②，则AB的长为______cm.（精确到0.1 cm）
