许志锋

因式分解的公式和方法

常用公式：平方差公式、完全平方公式、立方和及立方差公式等，如a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2），（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.

常见方法：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、求根法、配凑法等. 无论采用哪种方法，关键均在于：整体观察，局部变形，瞧着走！

因式分解的应用

● 解方程或不等式

例1 已知a>0，b>0，解不等式2x2+（3a+b）x+（a2-b2）>0.

解析： 解二次不等式的关键在于求根.经观察，不等式左边可分解因式：2x2+（3a+b）x+（a2-b2）=2x2+（3a+b）x+（a+b）（a-b）=（2x+a-b）（x+a+b），故2x2+（3a+b）x+（a2-b2）=0有两根：x1=-a-b，x2=.

由a>0，b>0可知x1-x2=（-a-b）-=-<0，所以x1

● 证明函数单调性

例2 求证： f（x）=在区间（0，1）上单调递增.

解析：任取00，1-x1x2>0，并且分母为正，故f（x2）-f（x1）>0， f（x）=在区间（0，1）上单调递增.

点评： 用定义证明单调性，在作差Δ=f（x2）-f（x1）之后，总的变形方向就是要和差化积分解因式，这样就能通过各个因式的正负来确定Δ的正负，如果出现分式，要先通分合并再分解因式.

● 整式的化简

例3 用三边长表示三角形面积的著名公式“海伦公式”：s=其中p=（a+b+c）的推导.

解析： 由面积公式和余弦定理可得：s=absinC=ab=ab·，即s=，其中（2ab）2-（a2+b2-c2）2=（2ab+a2+b2-c2）（2ab-a2-b2+c2）=[（a+b）2-c2]·[c2-（a-b）2]=（a+b+c）（a+b-c）·（c+a-b）（c+b-a）=2p（2p-2c）（2p-2b）（2p-2a），故s=.

● 分式的约简

例4 [2013年高考数学江西卷（文科）第20题中的计算问题] 已知+=1，x0y0≠0. 求证：2·-为定值.

解析： 先化简繁分式m=.

第一步，整个分式的分子分母同乘以各分式的分母之积（2y0-x0+2）（y0-1），得：m==.

第二步，通过因式分解，进行约分化简，由+=1变形得4-=4，而上式分母中恰好出现4-这个整体，用4代替4-，可得m===.

现在，问题最终转化为求证2m-=-为定值.由于这两个分式的分母不同， 故应通分合并： -==（*）.

要证明*式为定值，可将分子进行因式分解，与分母约分.观察发现，*式分子、分母中有三处出现了x0-2，所以我们应当“少数服从多数”，对于唯一不含x0-2的项2，通过条件+=1，用2=（4-）=（2+x0）（2-x0）来代换.于是

=

==.

小结： 因式分解的本质就是和差化积，凡使用积的形式更有利于解题的场合，均可考虑进行因式分解.

因式分解的公式和方法

常用公式：平方差公式、完全平方公式、立方和及立方差公式等，如a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2），（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.

常见方法：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、求根法、配凑法等. 无论采用哪种方法，关键均在于：整体观察，局部变形，瞧着走！

因式分解的应用

● 解方程或不等式

例1 已知a>0，b>0，解不等式2x2+（3a+b）x+（a2-b2）>0.

解析： 解二次不等式的关键在于求根.经观察，不等式左边可分解因式：2x2+（3a+b）x+（a2-b2）=2x2+（3a+b）x+（a+b）（a-b）=（2x+a-b）（x+a+b），故2x2+（3a+b）x+（a2-b2）=0有两根：x1=-a-b，x2=.

由a>0，b>0可知x1-x2=（-a-b）-=-<0，所以x1

● 证明函数单调性

例2 求证： f（x）=在区间（0，1）上单调递增.

解析：任取00，1-x1x2>0，并且分母为正，故f（x2）-f（x1）>0， f（x）=在区间（0，1）上单调递增.

点评： 用定义证明单调性，在作差Δ=f（x2）-f（x1）之后，总的变形方向就是要和差化积分解因式，这样就能通过各个因式的正负来确定Δ的正负，如果出现分式，要先通分合并再分解因式.

● 整式的化简

例3 用三边长表示三角形面积的著名公式“海伦公式”：s=其中p=（a+b+c）的推导.

解析： 由面积公式和余弦定理可得：s=absinC=ab=ab·，即s=，其中（2ab）2-（a2+b2-c2）2=（2ab+a2+b2-c2）（2ab-a2-b2+c2）=[（a+b）2-c2]·[c2-（a-b）2]=（a+b+c）（a+b-c）·（c+a-b）（c+b-a）=2p（2p-2c）（2p-2b）（2p-2a），故s=.

● 分式的约简

例4 [2013年高考数学江西卷（文科）第20题中的计算问题] 已知+=1，x0y0≠0. 求证：2·-为定值.

解析： 先化简繁分式m=.

第一步，整个分式的分子分母同乘以各分式的分母之积（2y0-x0+2）（y0-1），得：m==.

第二步，通过因式分解，进行约分化简，由+=1变形得4-=4，而上式分母中恰好出现4-这个整体，用4代替4-，可得m===.

现在，问题最终转化为求证2m-=-为定值.由于这两个分式的分母不同， 故应通分合并： -==（*）.

要证明*式为定值，可将分子进行因式分解，与分母约分.观察发现，*式分子、分母中有三处出现了x0-2，所以我们应当“少数服从多数”，对于唯一不含x0-2的项2，通过条件+=1，用2=（4-）=（2+x0）（2-x0）来代换.于是

=

==.

小结： 因式分解的本质就是和差化积，凡使用积的形式更有利于解题的场合，均可考虑进行因式分解.

因式分解的公式和方法

常用公式：平方差公式、完全平方公式、立方和及立方差公式等，如a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2），（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.

常见方法：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、求根法、配凑法等. 无论采用哪种方法，关键均在于：整体观察，局部变形，瞧着走！

因式分解的应用

● 解方程或不等式

例1 已知a>0，b>0，解不等式2x2+（3a+b）x+（a2-b2）>0.

解析： 解二次不等式的关键在于求根.经观察，不等式左边可分解因式：2x2+（3a+b）x+（a2-b2）=2x2+（3a+b）x+（a+b）（a-b）=（2x+a-b）（x+a+b），故2x2+（3a+b）x+（a2-b2）=0有两根：x1=-a-b，x2=.

由a>0，b>0可知x1-x2=（-a-b）-=-<0，所以x1

● 证明函数单调性

例2 求证： f（x）=在区间（0，1）上单调递增.

解析：任取00，1-x1x2>0，并且分母为正，故f（x2）-f（x1）>0， f（x）=在区间（0，1）上单调递增.

点评： 用定义证明单调性，在作差Δ=f（x2）-f（x1）之后，总的变形方向就是要和差化积分解因式，这样就能通过各个因式的正负来确定Δ的正负，如果出现分式，要先通分合并再分解因式.

● 整式的化简

例3 用三边长表示三角形面积的著名公式“海伦公式”：s=其中p=（a+b+c）的推导.

解析： 由面积公式和余弦定理可得：s=absinC=ab=ab·，即s=，其中（2ab）2-（a2+b2-c2）2=（2ab+a2+b2-c2）（2ab-a2-b2+c2）=[（a+b）2-c2]·[c2-（a-b）2]=（a+b+c）（a+b-c）·（c+a-b）（c+b-a）=2p（2p-2c）（2p-2b）（2p-2a），故s=.

● 分式的约简

例4 [2013年高考数学江西卷（文科）第20题中的计算问题] 已知+=1，x0y0≠0. 求证：2·-为定值.

解析： 先化简繁分式m=.

第一步，整个分式的分子分母同乘以各分式的分母之积（2y0-x0+2）（y0-1），得：m==.

第二步，通过因式分解，进行约分化简，由+=1变形得4-=4，而上式分母中恰好出现4-这个整体，用4代替4-，可得m===.

现在，问题最终转化为求证2m-=-为定值.由于这两个分式的分母不同， 故应通分合并： -==（*）.

要证明*式为定值，可将分子进行因式分解，与分母约分.观察发现，*式分子、分母中有三处出现了x0-2，所以我们应当“少数服从多数”，对于唯一不含x0-2的项2，通过条件+=1，用2=（4-）=（2+x0）（2-x0）来代换.于是

=

==.

小结： 因式分解的本质就是和差化积，凡使用积的形式更有利于解题的场合，均可考虑进行因式分解.