苏立标

考查集合最基本的概念和性质. 这类题目往往涉及集合的元素、集合的运算等，可直接利用集合的相关知识求解.

例1 [2011年高考安徽数学卷（理科）试题] 设集合A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7}，则满足S？哿A且S∩B≠的集合S的个数为 .

（A） 57 （B） 56 （C） 49 （D） 8

解析： 例1考查子集与真子集的个数问题.如果一个集合的元素有n个，那么它的子集有2n个（注意空集的存在），非空子集有2n-1个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.

因为集合A的元素有6个，所以集合A的子集有26=64个.集合S与集合B的交集不为空集，则集合S中元素不能只有1，2，3，由这三个元素组成的集合的子集共23=8个，把这8个不符合的情况舍去，即可得到满足题意的集合S的个数.故选B.

例2 [2011年高考广东数学卷（理科）试题] 设S是整数集Z的非空子集，如果对？坌a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的.若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且对于所有a，b，c∈T，有abc∈T；对于所有x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是 .

（A） T，V中至少有一个关于乘法是封闭的

（B） T，V中至多有一个关于乘法是封闭的

（C） T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的

（D） T，V中每一个关于乘法都是封闭的

解析： 由于T∪V=Z，故整数1一定在T，V两个集合中的一个之中. 不妨设1∈T，则对于所有a，b∈T，由于a，b，1∈T，则a·b·1∈T，即ab∈T，从而T对乘法封闭.

而当T={非负整数}、V={负整数}时，T关于乘法封闭，V关于乘法不封闭，故D不对.

当T={奇数}、V={偶数}时，T，V显然关于乘法都是封闭的，故B，C不对.从而选A.

以集合为载体考查函数、不等式、规划等问题. 这类题目中集合只是一个载体，解题的关键在于去掉集合的“外衣”，发现问题考查的真正内容.

例3 [2012年高考重庆数学卷（文科）试题] 设函数f（x）=x2-4x+3，g（x）=3x-2，集合M={x∈Rf[g（x）]>0}，N={x∈Rg（x）<2} ，则M∩N为 .

（A） （1，+∞） （B） （0，1）

（C） （-1，1） （D） （-∞，1）

解析： 由f[g（x）]>0得g2（x）-4g（x）+3>0，则g（x）<1或g（x）>3，所以M={x∈Rg（x）<1或g（x）>3}. 由于N={x∈Rg（x）<2}，则M∩N={x∈Rg（x）<1}，即g（x）=3x-2<1，解得答案为D.

例4 [2012年高考重庆数学卷（理科）试题] 设平面点集A=（x，y）（y-x）y-≥0，B={（x，y）（x-1）2+（y-1）2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为 .

（A） π （B） π

（C） π （D）

解析：平面点集A表示的是不等式组y-x≥0，y-≥0与y-x≤0，y-≤0分别表示的平面区域①和②，如图1-1所示. 点集B表示的是以（1，1）为圆心、以1为半径的圆及圆的内部. A∩B所表示的平面图形就是它们的公共部分，如图1-2阴影部分所示.

由于圆与曲线y=都关于直线y=x对称，所以公共部分面积为圆面积的一半，即.故正确答案为D.

【评注】 在去除例3以及例4的集合“外衣”后，将发现前者主要考查的是简单的复合函数和不等式知识，后者主要考查的是规划知识.

在例4中，把集合用图形表示出来，从图形中寻找思路，更加直观、形象.在求图形面积时，有时各部分很难求或根本求不出来，可以利用图形的对称性求解.

结合集合语言考查对数学知识的综合运用.这类问题的考查涉及多种知识，解题时需要多种方法的综合运用，对数学能力是一种考验.

例5 [2010年高考浙江数学卷（理科）试题] 设函数的集合P=f（x）=log2（x+a）+ba=-，0，，1；b=-1，0，1，平面上点的集合Q=（x，y）x=-，0，，1；y=-1，0，1，则在同一直角坐标系中，P中函数f（x）的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是 .

（A） 4 （B） 6 （C） 8 （D） 10

解析： 集合Q包含12个点；集合P中共有12个函数，函数y=log2x是其中一个，且经过（1，0），，-1两点，如图2所示. 其他符合题意的函数的图象可以通过平移y=log2x的图象得到：

① 向上平移1个单位得到y=log2x+1；

② 向左平移个单位得到y=log2x+，再向上平移1个单位得到y=log2x++1；

③ 先向左平移1个单位，再向下或向上平移1个单位分别得到y=log2（x+1）-1和y=log2（x+1）+1.

以上所得6个函数的图象都恰好经过Q中的两个点，符合题意. 其他函数的图象不是恰好经过Q中的两个点，不合题意.故答案为B.

【评注】 例5主要考查了函数的概念、定义域、值域、图象平移和对数函数的相关知识点，对同学们的数学素养有着较高的要求，体现了对数学能力的考查.

【练一练】

（1） 用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=C（A）-C（B），当C（A）≥C（B），C（B）-C（A），当C（A）

（A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1

（2） 已知{x1，x2，x3，x4}？哿{x>0（x-3）·sinπx=1}，则x1+x2+x3+x4的最小值为 .

【参考答案】

（1） B 【在集合A中，一元二次方程x2-ax-1=0的判别式Δ=a2+4>0，所以方程有两个根，即C（A）=2.若满足A*B=1 ，则C（B）=1或C（B）=3.

当C（B）=1时，表示函数y=x2+bx+1的图象与y=1的图象只有一个交点，这点即为抛物线的顶点. 由于抛物线y=x2+bx+1开口向上，且顶点在y=1上，所以x2+bx+1>0，即x2+bx+1=x2+bx+1，方程x2+bx+1=1只有一个根，由Δ=0解得b=0.

当C（B）=3时，表示y=x2+bx+1的图象与函数y=1的图象有三个交点，示意图如图3所示，-（x2+bx+1）=1有唯一解，即Δ=0，解得b=±2.

综上所述，b的可能值有3个，所以C（S）=3】

（2） 12 【因为x=3显然不是方程（x-3）·sinπx=1的根，所以问题可以转化为求函数y=sinπx（x>0）与y=（x>0）的图象最靠近y轴的4个交点的横坐标之和. 如图4所示，函数y=图象的对称点为（3，0），与函数y=sinπx图象离y轴最近的四个交点在区间（1，2）和（4，5）之间. 由对称性可得：x1+x4=x2+x3=2×3，所以x1+x2+x3+x4=12】

考查集合最基本的概念和性质. 这类题目往往涉及集合的元素、集合的运算等，可直接利用集合的相关知识求解.

例1 [2011年高考安徽数学卷（理科）试题] 设集合A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7}，则满足S？哿A且S∩B≠的集合S的个数为 .

（A） 57 （B） 56 （C） 49 （D） 8

解析： 例1考查子集与真子集的个数问题.如果一个集合的元素有n个，那么它的子集有2n个（注意空集的存在），非空子集有2n-1个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.

因为集合A的元素有6个，所以集合A的子集有26=64个.集合S与集合B的交集不为空集，则集合S中元素不能只有1，2，3，由这三个元素组成的集合的子集共23=8个，把这8个不符合的情况舍去，即可得到满足题意的集合S的个数.故选B.

例2 [2011年高考广东数学卷（理科）试题] 设S是整数集Z的非空子集，如果对？坌a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的.若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且对于所有a，b，c∈T，有abc∈T；对于所有x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是 .

（A） T，V中至少有一个关于乘法是封闭的

（B） T，V中至多有一个关于乘法是封闭的

（C） T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的

（D） T，V中每一个关于乘法都是封闭的

解析： 由于T∪V=Z，故整数1一定在T，V两个集合中的一个之中. 不妨设1∈T，则对于所有a，b∈T，由于a，b，1∈T，则a·b·1∈T，即ab∈T，从而T对乘法封闭.

而当T={非负整数}、V={负整数}时，T关于乘法封闭，V关于乘法不封闭，故D不对.

当T={奇数}、V={偶数}时，T，V显然关于乘法都是封闭的，故B，C不对.从而选A.

以集合为载体考查函数、不等式、规划等问题. 这类题目中集合只是一个载体，解题的关键在于去掉集合的“外衣”，发现问题考查的真正内容.

例3 [2012年高考重庆数学卷（文科）试题] 设函数f（x）=x2-4x+3，g（x）=3x-2，集合M={x∈Rf[g（x）]>0}，N={x∈Rg（x）<2} ，则M∩N为 .

（A） （1，+∞） （B） （0，1）

（C） （-1，1） （D） （-∞，1）

解析： 由f[g（x）]>0得g2（x）-4g（x）+3>0，则g（x）<1或g（x）>3，所以M={x∈Rg（x）<1或g（x）>3}. 由于N={x∈Rg（x）<2}，则M∩N={x∈Rg（x）<1}，即g（x）=3x-2<1，解得答案为D.

例4 [2012年高考重庆数学卷（理科）试题] 设平面点集A=（x，y）（y-x）y-≥0，B={（x，y）（x-1）2+（y-1）2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为 .

（A） π （B） π

（C） π （D）

解析：平面点集A表示的是不等式组y-x≥0，y-≥0与y-x≤0，y-≤0分别表示的平面区域①和②，如图1-1所示. 点集B表示的是以（1，1）为圆心、以1为半径的圆及圆的内部. A∩B所表示的平面图形就是它们的公共部分，如图1-2阴影部分所示.

由于圆与曲线y=都关于直线y=x对称，所以公共部分面积为圆面积的一半，即.故正确答案为D.

【评注】 在去除例3以及例4的集合“外衣”后，将发现前者主要考查的是简单的复合函数和不等式知识，后者主要考查的是规划知识.

在例4中，把集合用图形表示出来，从图形中寻找思路，更加直观、形象.在求图形面积时，有时各部分很难求或根本求不出来，可以利用图形的对称性求解.

结合集合语言考查对数学知识的综合运用.这类问题的考查涉及多种知识，解题时需要多种方法的综合运用，对数学能力是一种考验.

例5 [2010年高考浙江数学卷（理科）试题] 设函数的集合P=f（x）=log2（x+a）+ba=-，0，，1；b=-1，0，1，平面上点的集合Q=（x，y）x=-，0，，1；y=-1，0，1，则在同一直角坐标系中，P中函数f（x）的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是 .

（A） 4 （B） 6 （C） 8 （D） 10

解析： 集合Q包含12个点；集合P中共有12个函数，函数y=log2x是其中一个，且经过（1，0），，-1两点，如图2所示. 其他符合题意的函数的图象可以通过平移y=log2x的图象得到：

① 向上平移1个单位得到y=log2x+1；

② 向左平移个单位得到y=log2x+，再向上平移1个单位得到y=log2x++1；

③ 先向左平移1个单位，再向下或向上平移1个单位分别得到y=log2（x+1）-1和y=log2（x+1）+1.

以上所得6个函数的图象都恰好经过Q中的两个点，符合题意. 其他函数的图象不是恰好经过Q中的两个点，不合题意.故答案为B.

【评注】 例5主要考查了函数的概念、定义域、值域、图象平移和对数函数的相关知识点，对同学们的数学素养有着较高的要求，体现了对数学能力的考查.

【练一练】

（1） 用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=C（A）-C（B），当C（A）≥C（B），C（B）-C（A），当C（A）

（A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1

（2） 已知{x1，x2，x3，x4}？哿{x>0（x-3）·sinπx=1}，则x1+x2+x3+x4的最小值为 .

【参考答案】

（1） B 【在集合A中，一元二次方程x2-ax-1=0的判别式Δ=a2+4>0，所以方程有两个根，即C（A）=2.若满足A*B=1 ，则C（B）=1或C（B）=3.

当C（B）=1时，表示函数y=x2+bx+1的图象与y=1的图象只有一个交点，这点即为抛物线的顶点. 由于抛物线y=x2+bx+1开口向上，且顶点在y=1上，所以x2+bx+1>0，即x2+bx+1=x2+bx+1，方程x2+bx+1=1只有一个根，由Δ=0解得b=0.

当C（B）=3时，表示y=x2+bx+1的图象与函数y=1的图象有三个交点，示意图如图3所示，-（x2+bx+1）=1有唯一解，即Δ=0，解得b=±2.

综上所述，b的可能值有3个，所以C（S）=3】

（2） 12 【因为x=3显然不是方程（x-3）·sinπx=1的根，所以问题可以转化为求函数y=sinπx（x>0）与y=（x>0）的图象最靠近y轴的4个交点的横坐标之和. 如图4所示，函数y=图象的对称点为（3，0），与函数y=sinπx图象离y轴最近的四个交点在区间（1，2）和（4，5）之间. 由对称性可得：x1+x4=x2+x3=2×3，所以x1+x2+x3+x4=12】

考查集合最基本的概念和性质. 这类题目往往涉及集合的元素、集合的运算等，可直接利用集合的相关知识求解.

例1 [2011年高考安徽数学卷（理科）试题] 设集合A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7}，则满足S？哿A且S∩B≠的集合S的个数为 .

（A） 57 （B） 56 （C） 49 （D） 8

解析： 例1考查子集与真子集的个数问题.如果一个集合的元素有n个，那么它的子集有2n个（注意空集的存在），非空子集有2n-1个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.

因为集合A的元素有6个，所以集合A的子集有26=64个.集合S与集合B的交集不为空集，则集合S中元素不能只有1，2，3，由这三个元素组成的集合的子集共23=8个，把这8个不符合的情况舍去，即可得到满足题意的集合S的个数.故选B.

例2 [2011年高考广东数学卷（理科）试题] 设S是整数集Z的非空子集，如果对？坌a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的.若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且对于所有a，b，c∈T，有abc∈T；对于所有x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是 .

（A） T，V中至少有一个关于乘法是封闭的

（B） T，V中至多有一个关于乘法是封闭的

（C） T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的

（D） T，V中每一个关于乘法都是封闭的

解析： 由于T∪V=Z，故整数1一定在T，V两个集合中的一个之中. 不妨设1∈T，则对于所有a，b∈T，由于a，b，1∈T，则a·b·1∈T，即ab∈T，从而T对乘法封闭.

而当T={非负整数}、V={负整数}时，T关于乘法封闭，V关于乘法不封闭，故D不对.

当T={奇数}、V={偶数}时，T，V显然关于乘法都是封闭的，故B，C不对.从而选A.

以集合为载体考查函数、不等式、规划等问题. 这类题目中集合只是一个载体，解题的关键在于去掉集合的“外衣”，发现问题考查的真正内容.

例3 [2012年高考重庆数学卷（文科）试题] 设函数f（x）=x2-4x+3，g（x）=3x-2，集合M={x∈Rf[g（x）]>0}，N={x∈Rg（x）<2} ，则M∩N为 .

（A） （1，+∞） （B） （0，1）

（C） （-1，1） （D） （-∞，1）

解析： 由f[g（x）]>0得g2（x）-4g（x）+3>0，则g（x）<1或g（x）>3，所以M={x∈Rg（x）<1或g（x）>3}. 由于N={x∈Rg（x）<2}，则M∩N={x∈Rg（x）<1}，即g（x）=3x-2<1，解得答案为D.

例4 [2012年高考重庆数学卷（理科）试题] 设平面点集A=（x，y）（y-x）y-≥0，B={（x，y）（x-1）2+（y-1）2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为 .

（A） π （B） π

（C） π （D）

解析：平面点集A表示的是不等式组y-x≥0，y-≥0与y-x≤0，y-≤0分别表示的平面区域①和②，如图1-1所示. 点集B表示的是以（1，1）为圆心、以1为半径的圆及圆的内部. A∩B所表示的平面图形就是它们的公共部分，如图1-2阴影部分所示.

由于圆与曲线y=都关于直线y=x对称，所以公共部分面积为圆面积的一半，即.故正确答案为D.

【评注】 在去除例3以及例4的集合“外衣”后，将发现前者主要考查的是简单的复合函数和不等式知识，后者主要考查的是规划知识.

在例4中，把集合用图形表示出来，从图形中寻找思路，更加直观、形象.在求图形面积时，有时各部分很难求或根本求不出来，可以利用图形的对称性求解.

结合集合语言考查对数学知识的综合运用.这类问题的考查涉及多种知识，解题时需要多种方法的综合运用，对数学能力是一种考验.

例5 [2010年高考浙江数学卷（理科）试题] 设函数的集合P=f（x）=log2（x+a）+ba=-，0，，1；b=-1，0，1，平面上点的集合Q=（x，y）x=-，0，，1；y=-1，0，1，则在同一直角坐标系中，P中函数f（x）的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是 .

（A） 4 （B） 6 （C） 8 （D） 10

解析： 集合Q包含12个点；集合P中共有12个函数，函数y=log2x是其中一个，且经过（1，0），，-1两点，如图2所示. 其他符合题意的函数的图象可以通过平移y=log2x的图象得到：

① 向上平移1个单位得到y=log2x+1；

② 向左平移个单位得到y=log2x+，再向上平移1个单位得到y=log2x++1；

③ 先向左平移1个单位，再向下或向上平移1个单位分别得到y=log2（x+1）-1和y=log2（x+1）+1.

以上所得6个函数的图象都恰好经过Q中的两个点，符合题意. 其他函数的图象不是恰好经过Q中的两个点，不合题意.故答案为B.

【评注】 例5主要考查了函数的概念、定义域、值域、图象平移和对数函数的相关知识点，对同学们的数学素养有着较高的要求，体现了对数学能力的考查.

【练一练】

（1） 用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=C（A）-C（B），当C（A）≥C（B），C（B）-C（A），当C（A）

（A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1

（2） 已知{x1，x2，x3，x4}？哿{x>0（x-3）·sinπx=1}，则x1+x2+x3+x4的最小值为 .

【参考答案】

（1） B 【在集合A中，一元二次方程x2-ax-1=0的判别式Δ=a2+4>0，所以方程有两个根，即C（A）=2.若满足A*B=1 ，则C（B）=1或C（B）=3.

当C（B）=1时，表示函数y=x2+bx+1的图象与y=1的图象只有一个交点，这点即为抛物线的顶点. 由于抛物线y=x2+bx+1开口向上，且顶点在y=1上，所以x2+bx+1>0，即x2+bx+1=x2+bx+1，方程x2+bx+1=1只有一个根，由Δ=0解得b=0.

当C（B）=3时，表示y=x2+bx+1的图象与函数y=1的图象有三个交点，示意图如图3所示，-（x2+bx+1）=1有唯一解，即Δ=0，解得b=±2.

综上所述，b的可能值有3个，所以C（S）=3】

（2） 12 【因为x=3显然不是方程（x-3）·sinπx=1的根，所以问题可以转化为求函数y=sinπx（x>0）与y=（x>0）的图象最靠近y轴的4个交点的横坐标之和. 如图4所示，函数y=图象的对称点为（3，0），与函数y=sinπx图象离y轴最近的四个交点在区间（1，2）和（4，5）之间. 由对称性可得：x1+x4=x2+x3=2×3，所以x1+x2+x3+x4=12】