黄新成，刘 博，楚合营，刘朝霞，胡芸莎，唐玉荣

(塔里木大学)

0 引言

等厚干涉是扩展光源射入非平行薄膜上产生的干涉现象，典型的有劈尖干涉和牛顿环.同样的光程差与薄膜上介质厚度相同的各点对应，干涉条纹位于同一级条纹上，而只有介质厚度不同的薄膜才有可能形成一组等厚干涉条纹.条纹的形状主要取决于介质的形状，而条纹的形状反映出介质等厚点的轨迹［1］.

牛顿环是牛顿在经典光学中所做出的著名光学现象，试验方法是采用分振幅法来获取相干光，即利用光学玻璃表面围成的厚度不均的空气薄膜的上下表面将入射光的反射的同一束光分解成几部分，然后经过不同的路径再叠加使干涉条纹的分布与空气薄膜厚度的分布相对应，因此在干涉图样中同一干涉条纹对应于薄膜上厚度相同点的连线上，形成了等厚干涉条纹.在一块平面玻璃与一块曲率半径很大的平凸透镜之间形成一个下表面是平面的空气薄膜，上表面是球面，当用单色光垂直照射时，从上往下观察会看到以接触点为中心的一组圆形干涉条纹，这是经牛顿环空气劈尖上下表面反射的光发生干涉而形成的条纹.由于以接触点为中心的任一圆周上，空气层的厚度是相等的，因此这种条纹是等厚干涉条纹，称为牛顿环.在等厚干涉中，牛顿环和迈克耳孙干涉仪是研究薄膜干涉的基础实验［2］，迈克耳孙干涉仪可用于观察定域条纹和非定域条纹及研究如温度、压强、电场、磁场以及媒质运动等物理因素对光的传播的影响，并被广泛地应用光谱分析中 .而等厚干涉光线进入牛顿环后条纹宽度变化与球面的径向应变率具有重要的理论和应用价值.

在等厚干涉装置中，当平行光垂直入射到牛顿环上后，经牛顿环的空气薄膜的上、下表面折射和反射在牛顿环空气薄膜的上表面相遇而产生干涉现象［3］.由于入射光不是完全的单色光，因此实验中的干涉条纹都有一定的宽度，实验中发现干涉条纹的宽度与干涉级数有关［4］，在干涉级数越高的地方，条纹的宽度就越窄.通过条纹的宽度与入射光的波长宽度的关系，推导出曲面的径向应变率与条纹宽度变化率之间的关系.

1 条纹宽度与光谱宽度的关系

图1 球面干涉示意图

为简单起见，我们以球面为研究对象，如图1，球面的曲率半径为R，并假设曲面曲率的单色光的波长为λ，谱宽为Δλ，由等厚干涉的知识可以知道干涉条纹的级数与单色光的波长之间的关系为［5－6］:

2 条纹宽度与球面径向变形率的关系

由光的干涉知识可知，设在一个标准的球面发生的形变为弹性小变形，如图2所示，曲面的曲率半径可以表达为如下形式:

图2 弹性小变形球面模型

其中u为径向最大形变量，R0为变形前的曲率半径，θ和θ0分别是球心到曲面上任一点的连线与竖直方向的夹角和曲面的半角.由几何关系可知，变形后的空气膜的厚度d与θ的关系为:

式中e为空气膜的厚度.由干涉条件可知，变形后明条纹的位置为:

对上式两边求微分并整理后，有:

上式中右端第二项是由于曲面变形导致的，若Δλ为已知，联合式(2)，可以得出变化后的条纹宽度为:

同样，(7)式中右端第二项是由曲面变形引起的，由几何关系可知 ΔD=2R0cosθΔθ，因此由于曲面变形导致的条纹宽度的变化率εΔD为:

将式(8)的右端对θ求导后得

由式(9)可知区间(0，θ0)内，εΔD值单调递增.又由于 θ=0时，εΔD＜ 0;θ= θ0时，εΔD＞ 0，可知在区间(0，θ0)，εΔD将会在某一点处等于零，该点可令式(8)等于零解得，εΔD=0时的θ记为θc，则由以上关系可以得出，曲面变形前后条纹宽度变化率在区间(0，θc)内为负值，即在该区间内变形后的条纹的宽度将会变窄;而在区间(θc，θ0)内条纹宽度变化率为正值，即在该区间内变形后的条纹的宽度将会变宽.此外，对第一级明条纹来说，由于条纹的位置离中心很近，即θ≪1，再由三角函数的近似关系tanθ≈ θ，代入到(8)式后可以得出:

特别地当θ≈0的极限情况，此时εΔD≈－u/R0= －εr，而εr为曲面的最大变形率，可以看出条纹宽度的变化率等于曲面径向的形变率的相反数.

3 结束语

介绍了一种新的测量球面形变率的实验方法.对于发生弹性小形变的曲面，采用近似公式对曲面的形变量进行近似研究，推导出球面变形率与条纹宽度之间的关系表达式.结果表明，入射光的波长宽度与干涉的条纹宽度成正比，而条纹宽度的变化率随曲面的形变率的增加而增加.

［1］ 童元伟，顾铮，卜胜利.牛顿环与等倾干涉教学中的一点体会［J］.大学物理，2013.

［2］ 程守洙，江之永.普通物理学［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［3］ Born Wolf.Principles of Optics［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1999.308－325.

［4］ 赵凯华，钟锡华.光学(上册)［M］.北京，北京大学出版社，1984.284－298.

［5］ 周希尚，杨之昌.牛顿环实验综述［J］.物理实验，1993，13(2):66－67.

［6］ 王青，戴剑峰.牛顿环干涉实验的改进［J］.物理通报，2002，9:33 －35.