池进平

【摘要】希尔伯特说：数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各部分之间的联系.从这个意义上看，数列丰富了我们所接触的函数概念的范围，它是离散函数的典型代表.所以我们可以借助函数的概念、性质、图像从运动变化的观点去分析和研究数列问题，本文由浅入深地通过几个典型例题，帮助我们认识到一旦为数列问题插上函数思想的翅膀，就会飞得更高更远.

【关键词】数列;函数思想;运动变化

首先结合几个例题谈谈如何在函数观点下解决简单的数列问题：

一、数列的最值问题

已知数列{an}满足an=n2-8n+5n（n∈N+），则an的最小值为.

评析 an=n2-8n+5n=n+5n-8，借助函数f（x）=x+5x-8的图像，在（0，5）单调递减，在（5，+∞）单调递增，又n∈N+，∴（an）min={a2，a3}=-72，-103=-72.

数列是自变量为正整数的一类函数.特别要注意n∈N+，所以数列的图像只是对应函数图像上孤立的点.

此外，了解等差数列与一次函数、二次函数，等比数列与指数函数的关系能够帮助我们更快速地解决最值问题.

如：等差数列{an}满足：a1<0，S5=S13，则{an}的前项和最（填“大”或“小”）.

解法一 基本量的运算，设首项为a1，公差为d，由S5=S13，得： 5a1+5×42d=13a1+13×122d，∴a1=-172d，又a1<0，d>0，

即{an}是首项为负数的递增数列.

因此，当an≤0且an+1>0时，Sn有最小值.

∴-172d+（n-1）d≤0，

-172d+nd>0，解得：172

所以，此数列的前9项之和最小.

解法二 利用等差数列的性质：

∵S5=S13，∴a6+a7+…+a12+a13=0.

∴a6+a13=a9+a10=0，{an}是等差数列，而an是关于n的一次函数，

又a1<0，∴a9<0，a10>0.

∴此数列的前9项之和最小.

解法三 已知S5=S13，而Sn是关于n的二次函数，

由抛物线的对称性可得其对称轴方程为n=5+132=9.

又抛物线过（0，0），（1，a1），所以开口向上.

所以，当n=9时，Sn最小.

评析 解法一执着于基本量的运算，运算量较大;

解法二利用等差数列{an}的通项a……