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生产成本的最优化问题探究

2014-10-21刘瑞华

新课程学习·下 2014年10期
关键词:总成本单调函数

刘瑞华

【教学内容】

本节课是在高一学生学完全日制普通高中教科书《数学》(必修)第一册(上)“函数的单调性”之后组织的一次数学问题研究学习课,旨在提高学生应用数学知识的能力和对数学问题的探究能力,是对“高中数学问题研究学习法”的一次有益尝试。

本节课研究的实际问题是:高效益下的低成本问题。

本节课研究的数学模型是:函数y=x+■。

本节课研究获得的成果是:发现了函数y=x+■的图象及其单调性特征,并运用这一特征解决了一个实际问题。

【教学过程】

一、情境

师:今天我们将运用数学知识来帮助一家企业安排他们的生产计划,希望能够获得成功。(大屏幕显示)

我市一家民营企业根据市场需求决定调整某产品的生产量,以降低成本、提高效益。据统计的历史资料显示:生产该产品每年固定成本为100万元,每年生产x万件产品的生产成本为x(x+2)百万元,该企业全年的生产能力在0.1万~2万件之间。请你帮助设计生产规模,要求用最小的投入获得最大的效益。

二、问题

问题1:这项工作的实质内容是什么?(引导学生发现问题)怎样用数学知识去解决?(引导建立数学模型)

三、探究

(分小组讨论3分钟后)

A组学生1:这项工作实质是让我们确定生产量,使全年的总成本最小。(提出假设)我们的解法是这样的:(投影展示)

设全年生产总成本为y,则有y=x(x+2)+1,即y=x2+2x+1(0.1≤x≤2),这个函数在[0.1,2]上是增函数,故当x=0.1万件时,y=1.21百万为最小,所以安排每年生产0.1万件最好。

师:说说你们这样考虑的理由。

生:因为总成本就是总投入,花钱越少越好。(检验假设)

师:有不同的意见吗?(引导发现新问题)

B组学生2:我们不赞成他们的观点,投入少不能说明效益高,因为投入少生产量就少,很明显,他们安排的生产量是最少的,这绝不会取得高效益。(推翻假设)

(许多同学表示赞同)

师:依你们的想法该怎样安排生产呢?

生2:我们暂时还没有主意,似乎应考虑■的最大值问题。(提出新假设)

师:说说这种想法的理由。

生:高效益需要有一定的生产规模,就是要使x较大,而低成本就是要总成本y较小,把二者结合起来考虑,就要求比值■最大。

师:有道理(全班同学都表示赞同),大家还有其他想法吗?比如这个比值的实际含义还不太清楚,能弄清楚吗?(引导深入探究)

C组学生3:我们发现这个比值的倒数■就是每件产品的平均成本,认为每件产品的平均成本少,才能保证生产效益高,即求 的最小值。(提出新的假设)

(投影展示)

设y为全年生产x件产品的平均成本,则y=■,(0.1≤x≤2),但我們不知道怎样求y的最小值,请老师和同学们支援。(与B组同学观点一致,但意义更明确)

A组学生此时又活跃起来了,学生4:总成本是这个式子的分子,当它最小时,平均成本最小,所以我们仍然坚持原来的观点。

B组学生5:(反对)指出x=1万件时,平均成本为4百元,而x=0.1万件时,平均成本为12.1百元,这已是前者的3倍,x=1似乎就是最佳选择。(学生的直觉)(此时全班同学都投了赞成票,支持新假设。)

师:再次归纳提出问题2:下面我们把主要精力集中在C组同学提出的问题中,即要解决y=■(0.1≤x≤2)的最小值问题。

我们可以从以下几个方面去进行研究:①从数量上考虑这个函数的单调性;②从图形上考虑是否有最低点;③能否进行转化、变形处理。(引导启发探究、解决问题的途径)

(大约6分钟后)A组学生1再次发表自己的见解:可以将式子变形为x2+(2-y)x+1=0,关于x的方程有解,由Δ≥0解得y≥4,此时对应的x=1∈[0.1,2](验证了学生5的猜测,赢得一阵掌声。)

D组学生6:我们找到了图象的最低点在x=1处,说明全年生产1万件最好。

师:你们采用了什么方法画图?

生:描点法。(展示图形)

……

(C组学生不甘示弱)学生7:我们已经解决了这个函数的单调性问题,它在[0.1,1]上是减函数,在(1,2]上是增函数。(投影展示推证过程)

对任意xl,x2,设0.1≤xl

f(xl)-f(x2)=■-■

=x1-x2+■-■=(x1-x2)(1-■)=■,

当x1<1,x2≤1时,f(x1)-f(x2)>0;

当x1>1,x2>1时,f(x1)-f(x2)<0。

这说明函数y=f(x)在[0.1,1]上是减函数,(1,2]上是增函数。

师:这个特点能解决问题吗?

生:能。这说明x=1是函数的一个分界点,在它的左边递减,右边递增,故当x=1时,对应的3值最小,即每年安排生产1万件最好。(检验新假设,得到结论)

师:很好!(同学们也随着喝彩)C组同学实际上也证明了B组同学提出的函数y=x+■的单调性,我们把两组同学研究的结论合并起来,是不是又认识了一个新的函数呢?

生:是,就是y=x+■。

师:有谁能将今天探究的问题总结一下吗?

四、生成

生8:今天我们用数学知识解决了一个实际生产问题。

生9:今天我们研究了函数y=■的最小值。

……

师:大家都说得很好,今天我们不仅帮助这家企业解决了生产的实际问题,更重要的是我们在解决问题的同时,认识了一个很好的新函数,它就是y=x+■。希望它能成为我们共同的朋友,它的图象在(0,+∞)上是一个漂亮的“√”(大屏幕显示),这是对同学们今天出色表现的最高赞赏。

教师提出课外探究的新问题,再进行拓展后结束。(拓展问题,课外延伸)

参考文献:

王新民.关于数学教学效率及其效率意识的分析[J].数学教育学报,2006(3).

编辑 李建军

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