王福谦 贾兰芳

（长治学院 电子信息与物理系，山西 长治 046011）

同心球形电容器由于受力或工艺问题，可成为偏心球形电容器，这一变化将对该电容器的耐压能力及电容量产生影响，使电容器不能正常工作。文章针对球形电容器的小偏心距情形，通过求解拉普拉斯方程得到偏心球形电容器内的电势分布，再由场强分布研究偏心距对球形电容器耐压能力和电容量的影响。

1 偏心球形形电容器内的电场

如图1所示，偏心球形电容器内、外球壳的半径分别为a、b，偏心距为c。以内球壳球心为原点，准确到c的一级小量，外球壳的方程为：

图1 偏心球形电容器

对内、外球壳之间的任意一点 P（r，θ，φ），考虑到对称性，由拉普拉斯方程▽2φ=0得两球壳之间的电势为：

在上式中取l=0，1两项，则得电势的近似值为：

式中C和D为c的小修正量。边界条件为：

式中已经忽略了Cc和Dc。由文献[2]，可令P0（μ）和P1（μ）的系数分别等于零，给出：

从中解得：

根据电势与场强的关系，由式（1）有：

式（2）为偏心球形电容器内的场强分布。

图2和图3为利用MATLAB所绘制出的偏轴圆柱形电容器过圆心ο和ο'截面上的电场线与等势线的分布图。其中 a=5m、b=7m，V1=100V，V2=0V，偏心距c分别为0.0002m和0.0003m。

图3 偏心球形电容器过圆心ο和ο'截面上的电场线与等势线图（c=0.0003m）

由图2和图3可以看出，在偏心球形电容器内部，愈靠近内极板表面，电场愈强，且两极板间距最小处的内极板表面上的场强最大。

2 耐压能力

偏轴圆柱形电容器内部场强最大处为两极板间距最小处的内极板表面处，由式（2），取 r=a、θ=π，可得此处的场强为：

将有关数据 a=5m、b=7m，c=0.0005m，V1=100V，V2=0V。代入上式，可得：

而相同尺寸同心球形电容器，内极板表面处的场强为：

代入数据a=5m、b=7m，V1=100V，可得同心球形电容器内极板表面处的场强为：

比较式（3）式（5）可知，在电源电压一定的情况下，偏心形电容器两极板间距最小处的内表面上的场强要大于相同尺寸的同心球形电容器内极板表面的场强。所以，无论当同心球形电容器由于工艺问题还是受到外力作用发生偏心时，耐压能力都将降低。

下面计算偏心球形电容器耐压能力的改变量。由式（3）和式（5）可得，在介质的介电强度（即击穿场强）一定的情况下，偏心球形电容器所承受的电压Uo要小于同心球形电容器所承受的电压Uc，在电容器所填充介质及其尺寸相同的情况下，偏心、同心电容器所承受电压之比Uo/Uc为：

需要注意的是，以上两式仅实用于偏心距较小的情形，当偏心距较大时，将出现较大的误差，偏心距达到一定程度，偏心、同心电容器所承受电压之比便不能由上式计算。

下面根据式（7）给出Uo/Uc随偏心距c变化（a、b一定）的一组数据，以此来说明偏轴电容器的耐压能力随偏轴距的变化情况（表中c＞0.01m的Uo/Uc之值误差很大，仅供参考）。

从表格1和表格2中的数据可以看出，若球形电容器的a=5m、b=7m，c=0.02m，知Uo/Uc=98.67%，此时该电容器的耐压能力为其同轴时的约98.67%，取Uc=220V，则Uo=217.0740V；若电容器的 a=5m、b=7m，c=0.04m，知 Uo/Uc=97.37%，此时该电容器的耐压能力为其同轴时的约97.37%，取Uc=220V，则 Uo=214.214V；若电容器的 a=9m、b=10 m，c=0.04m，知Uo/Uc=97.83%，此时该电容器的耐压能力为其同轴时的约97.83%，取Uc=220V，则 Uo=215.5560V；若电容器的 a=9m、b=10m，c=0.04m，知Uo/Uc=95.76%，此时该电容器的耐压能力为其同轴时的约95.76%，取Uc=220V，则Uo=210.672V。显然，球形电容器由于偏心的作用，其耐压能力将随着偏心距的增大而降低，在偏心距一定的情况下，内、外球面的半径差越小，耐压能力降低的幅度越大。球形电容器在内、外球面半径一定的情况下，偏心距超过一定程度，电容器将不能正常使用。

表1 耐压能力Uo/Uc随相对偏心距c的变化Tab.1 The change of voltage capability Uo/Uc with c

Tab.2 The change of voltage capability Uo/Uc with c

综上所述，球形电容器由于工艺上出现的偏心，将直接影响到电容器的使用寿命和质量。由本文的结论可知，为保证电容器的质量和使用寿命，在生产工艺上要求尽量减小其偏心距，将其需控制在一定范围之内。表1～2中所提供的电容器的耐压能力随偏心距的尺寸变化，数据供生产厂家参考。

图4为利用Matlab所绘制出的同心球形电容器过圆心ο（ο'）截面上电场线与等势线的分布图。其中 a=5m、b=7m，V1=100V，V2=0V。

对图4中内极板处电场线密度与图2、图3偏心球形电容器两极板间距最小处的内表面上的电场线密度比较，也可以看出：偏心球形电容器两极板间距最小处的内表面上的电场线密度较大，电场较强，表明其耐压能力受偏心作用将降低。

图4 同心球形电容器过圆心ο（ο'）截面上的电场线与等势线图

3 电容量分析

由式（1）可得偏心球形电容器内极板的面电荷密度为：

则偏心球形电容器的带电量为：

由电容的定义可得偏心球形电容器的电容为：

4 结束语

文章将理论分析与计算机数值模拟相结合，通过对偏心球形电容器内电场的研究，不仅给出了其电场分布规律，分析了其耐压能力随偏心距的变化情况，而且还可为球形电容器的加工制作精度提供理论依据和参考数据，对提高球形电容器的质量，定量计算实际生产中出现的工艺偏差具有一定的参考价值。由于本文所讨论的属于球形电容器偏心率较小的情形，与生产实际相符合，因此，所得结论具有一定的实用价值。本文所使用的研究方法也可供电容器研究专业人员在新型电容器的设计和研发方面借鉴。

［1］刘金英等.物理学大题典：电磁学与电动力学［M］.北京：科学出版社，2005，10（1）：78-80.

［2］（美）W.R斯迈思著，戴世强译.静电学和电动力学［M］.北京：科学出版社，1981，1（1）：208-211.

［3］符果行.经典电磁理论方法［M］.成都：电子科技大学出版社，1998.156-158.

［4］康东.偏心球形电容器的理论分析与应用探讨［J］.西安科技大学学报，2004，24（3）：365-368.