张彩芬, 吴泽忠

（成都信息工程学院 应用数学学院,四川成都610225）

设Rn表示n维空间,Rn+表示它的非负象限.文献［1］考虑了如下规划:

很多学者运用函数的凸性对分式规划做了相关的研究,文献［2-4］分别在不变凸性、（F,ρ）-凸性和（F,α,ρ,d） -凸性的假设下,扩展了文献［1］ 的结果,得到规划（P）的对偶规划及其各自的弱对偶、强对偶、严格逆对偶定理；文献［5-10］对可微广义分式规划做类似的研究并得出相应的结论；文献［11-14］对非可微广义分式规划及其对偶模型做了研究；文献［15-17］运用函数的凸性对多目标分式规划及对偶做相关的研究.本文将在广义ρ-不变凸性的假设下,得到（P）的2个对偶规划及其各自的弱对偶、强对偶和严格逆对偶定理.

1 预备知识

定义 1.1［18］令f:X→R（X⊆Rn） 是可微函数,ρ∈R,d:X ×X→R（x1≠x2,d（x1,x2）≠0）,η:X×X→Rn.

（a） 若对 ∀x ∈ X 都有 f（x） -f（x0） ≥▽f（x0）Tη（x,x0） +ρd2（x,x0）,则f在x0处是ρ -不变凸函数；

（b） 若对∀x∈X,x≠x0,都有f（x）-f（x0） ＞▽f（x0）Tη（x,x0） +ρd2（x,x0）,则f在x0处是严格ρ-不变凸函数；

（c） 若对 ∀x∈ X,都有 ▽f（x0）Tη（x,x0） ≥-ρd2（x,x0） → f（x） ≥ f（x0） 或 f（x） ＜ f（x0） →▽f（x0）Tη（x,x0） ＜-ρd2（x,x0）；则f在x0处是ρ -伪不变凸函数；

（d） 若对 ∀x∈ X,x≠ x0,都有 ▽f（x0）Tη（x,x0） ≥-ρd2（x,x0） →f（x） ＞f（x0） 或f（x） ≤f（x0）→ ▽f（x0）Tη（x,x0） ＜-ρd2（x,x0）；则 f在 x0处是严格ρ-伪不变凸函数；

（e） 若对 ∀x ∈ X 都有 f（x） ≤ f（x0） →▽f（x0）Tη（x,x0） ≤-ρd2（x,x0）,则f在x0处是ρ -拟不变凸函数.

2 充分条件

3 对偶定理

3 结语

在广义ρ-不变凸性的假设下,得到广义分式规划的最优性的充分条件并得到2个对偶规划的弱对偶、强对偶、严格逆对偶定理.广义分式规划在不同凸函数的基础上,已有很多的研究成果,更有待进一步去研究.ρ-不变凸性也可以运用于研究多目标分式规划.

致谢成都信息工程学院2012年中青年学术带头人基金（J201218）和成都信息工程学院2012年人才引进基金（KYTZ201203）对本文给予了资助,谨致谢意.

［1］ Chandra S,Kumar V.Duality in fractional minimax programming［J］.J Austral Math Soc,1995,A58:376-386.

［2］ Liu J C,Wu C S.On minimax fractional optimality conditions with invexity［J］.J Math Anal Appl,1998,219:21-35.

［3］ Liu J C,Wu C S.On minimax optimality conditions with （F, ρ） -convexity［J］.J Math Anal Appl,1998,219:36-51.

［4］ Liang Z A,Shi Z W.Optimality conditiongs and duality for a minimax fractional with generalized convexity ［J］.J Math Anal Appl,2003,277:474-488.

［5］王兴国.（F,ρ）-不变凸性下广义分式规划的……