张素芬, 袁 梅

（乐山职业技术学院电子信息工程系,四川乐山614000）

1 引言及预备知识

近年来,各类变分不等式的理论、算法及其应用的研究得到广泛的关注［1-14］.2001年,黄南京等［15］引进了广义m-增生算子,在Banach空间中对广义m-增生算子给出了预解算子的定义.接着文献［16-21］在Banach空间中研究了许多增生算子,诸如 H-增生算子、（H,η）-增生算子和H（·,·）-增生算子,还定义了预解算子,运用预解算子技巧发展了一些变分包含解的迭代算法.最近,X.P.Luo等［22］在Banach空间中引进了广义H-η-增生算子的概念,为Banach空间中广义m-增生算子和广义H-η-单调算子提出了统一的框架,对H-η-增生算子研究了预解算子的一些性质,给出了在Banach空间中求解变分包含的一些应用.

受上述研究的启发,本文在Banach空间中引进了广义H（·,·）-η-增生算子的概念,它是H（·,·）-增生算子和H-η-增生算子的推广；对广义H（·,·）-η-增生算子给出预解算子的定义,证明它的Lipschitz连续性；作为一个应用,还研究了一类涉及广义H（·,·）-η-增生算子的变分包含的可解性且运用预解算子的技巧,构造了一个求解变分包含的迭代算法.在适当的条件下,证明了变分包含解的存在性和迭代序列的收敛性.设X是实Banach空间具有对偶空间X*,模和X与X*之间的对偶对分别记为‖·‖和〈·〉,记2X记为X的所有子集簇.正规对偶映射J:X→2X定义为

2 广义H（·,·）-η-增生算子

定义2.1设X和Y分别是具有对偶空间X*和Y*的Banach空间,A,B:X→X,H（·,·）:X×X→Y,η:X×X→Y*是单值映射,M:X→2Y是多值映射.称M关于A,B是广义H（·,·）-η-增生的,如果M是广义m-松弛η-增生的并且

3 应用

［1］ Ding X P,Feng H R.Algorithm for solving a new class of generalized nonlinear implicit qusi-variational inclusions in Banach spaces［J］.Appl Math Comput,2009,208（2）:547-555.

［2］ Fang Y P,Huang N J.Iterative algorithm for a system of variational inclusions involving H-accretive operators in Banach spaces［J］.Acta Math Hungar,2005,108（3）:183-195.

［3］熊廷见.关于一般混合变分不等式的g-单调迭代算法［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2000,23（1）:17-23.

［4］丁协平.解非线性混合似变分不等式的预测-校正迭代算法［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2003,26（1）:1-5.

［5］何诣然.具有集值映射变分不等式的理论分析［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2010,33（6）:840-848.

［6］毛秀珍,何诣然.拟单调广义向量变分不等式［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2007,30（2）:134-137.

［7］方长杰,郑继明,吴慧莲.Banach空间中一类广义集值非线性混合似变分不等式解的存在性与算法［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2007,30（1）:40-44.

［8］袁梅,梁涛.一类含广义m-增生算子的广义变分包含系统解的存在唯一性［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2010,33（1）:339-341.

［9］邱丹,邱涛,何诣然.一类二次投影算法的扰动分析［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2010,33（6）:741-744.

［10］万波,江晓涛.求解多值广义混合隐似平衡问题的迭代算法［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2011,34（2）:197-200.

［11］李涛,夏福全.Hilbert空间中广义变分不等式的投影算法［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2011,34（5）:610-614.

［12］袁梅,梁涛,刘爱华.一类含广义m-增生算子的广义变分包含系统解的迭代算法［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2011,34（1）:51-54.

［13］吴艳秋,夏福全.Hilbert空间中变分不等式组的两步投影算法［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2011,34（5）:615-620.

［14］方长杰,何诣然.广义变分不等式的优质泛函［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2011,34（4）:450-453.

［15］黄南京,方亚平.Banach空间中一类广义m-增生算子［J］.四川大学学报:自然科学版,2001,38（4）:591-592.

［16］ Fang Y P,Huang N J.H-monotone operator and resolvent operator technique for variational inclusions ［J］.Appl Math Comput,2003,145（2/3）:795-803.

［17］ Fang Y P,Huang N J.H-accretive operators and resolvent operator technique for solving variational inclusions in Banach spaces［J］.Appl Math Lett,2004,17（6）:647-653.

［18］ Lan H Y,Cho Y J,Verma R U.Nonlinear relaxed cocoercive variational inclusions involving （A,η） -accretive mappings in Banach spaces［J］.Comput Math Appl,2006,51（9/10）:1529-1538.

［19］Zou Y Z,Huang N J.H（-,-） -accretive operator with an application for solving variational inclusions in Banach spaces［J］.Appl Math Comput,2008,204（2）:809-816.

［20］ Zou Y Z,Huang N J.A new system of variational inclusions involving H（ -,-） -accretive operator in Banach spaces［J］.Appl Math Comput,2009,212（1）:135-144.

［21］ Li X,Huang N J.Graph convergence for the H（ -,-） -accertive operator in Banach spaces with an application［J］.Appl Math Comput,2011,217:9053-9061.

［22］ Luo X P,Huang N J.Generalized H-accretive operators in Banach spaces with application to variational inclusions ［J］.Appl Math Mech,2010,31（4）:501-510.

［23］ Petryshyn W V.A characterization of strictly convexity of Banach spaces and other uses of duality mappings ［J］.J Funct Anal,1970,6（2）:282-291.

［24］ Xia F Q,Huang N J.Variational inclusions with a general H-monotone operator in Banach spaces［J］.Comput Math Appl,2007:54（1）:24-30.

［25］ Fang Y P,Huang N J.H（-,-）-accretive operator and resolvent operator technique for solving variational inclusions in Banach spaces［J］.Appl Math Lett,2004,17（6）:647-653.