尹忠旗

(四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066)

令X、Y、Z为可分的Hilbert空间,A:X→Z是一对一的有界线性算子.B:Y→Z是一个线性算子,它可能是无界的.考虑如下的算子方程

考虑算子A的值域不闭的情况,即这表明A的逆算子A-1:R(A)→X是不连续的.这是一个不适定的问题[1-3]:初始数据g的微小改变可能导致方程(1)的解f的巨大改变.于是,需要寻求一种正则化技术来确定方程(1)在噪声水平为δ,精确数据g0∈Y,Bg0∈R(A)下的稳定的近似解f0.所谓的噪声水平δ是指‖gδ-g0‖Y≤δ.引入Tikhonov正则化[4-6]:

其中,实数α叫做正则化参数.记(2)式的唯一极小值解为fα,δ,它是问题(2)的正则化解,满足方程

感兴趣的是与最优收敛速度有关的正则化参数α的先验选择策略.文献[7]讨论了B=I,Y=Z,即Af=g；证明了对某些合适的函数Ψ有收敛速度‖fα,δ-f0‖X=O(Ψ0(δ)).文献[8]考虑了算子方程Ax=y在不同光滑性条件下的正则化问题,其中方程的解属于某一个自伴算子G:X→X的值域R(G)且有包含关系R(G)⊆φ(A*A),而φ是一个严格单调增加的连续函数,它满足初始条件φ(0)=0.关于先验假设情况下的收敛问题,更多的文献可以参考文献[9-13]等相关专著和文章.本文的新颖之处在于所考虑的情形与值域包含有关,即R(A)⊆R(B)而且B可能是无界的.容易知道,本文的结果已经包含了文献[7]的结果.在本文中,由于B可能无界,因此要求不同于以往的方法来处理相应的收敛速度问题.还假设算子A*B可以分解为2个有界算子的复合.

1 相关假设和主要结果

先给出文中要使用的一些假设,然后给出本文的主要结果.

令I为指标函数的集合,即

令G为X上的一对一的,正的紧自伴算子,它具有对应于其特征值的规范的正交基{φn}n∈N,它的特征值是以单调增加的方式排列的

用{Xρ(G)}ρ∈I表示可变尺度的 Hilbert空间[14-15].Xρ(G)是如下集合的闭包:

2 准备知识

在本节中,给出几个预备引理.第1个引理刻画了方程(3)在没有扰动的情况下的正则解与在有δ扰动的情况下的正则解之间的误差.第2个引理描述了方程(1)的解与其正则化解,即与方程(3)在没有扰动下的解之间的误差.它们的证明可以参考文献[8].

引理 2.1令fα,δ是问题(2)的极小值解,fα是算子方程(A*A+αI)f=A*Bg0的解.那么有如下估计成立

3 证明主要结果

[1]Kirsch A.An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems[M].New York:Springer-Verlag,2011.

[2]高常忠,宋惠元.一类确定线性伪抛物型方程边界值的反问题[J].四川师范大学学报:自然科学版,2004,27(6):603-606.

[3]何欢,孙合明,左环.对称矩阵特征值反问题的最佳逼近解的一种数值解法[J].四川师范大学学报:自然科学版,2012,35(4):473-477.

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[6]Groetsch C W.The Theory of Tikhonov Regularization for Fredholm Integral Equations of the First Kind[M].Boston:Pitman,1984.

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[8]Böttcher A,Hofmann B,Tautenhahn U,et al.Convergence rates for Tikhonov regularization from different kinds of smoothness conditions[J].Appl Anal,2006,85(5):555-578.

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[13]Mair B A.Tikhonov regularization for finitely and infinitely smoothing operators[J].SIAM J Math Anal,1994,25(1):135-147.

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