刘桂林+高道祥+闫磊

摘要： 为了解决机器人跟踪控制的建模误差和扰动所引起的不稳定问题，设计一种基于T⁃S模糊模型的滑模控制器。首先对机器人动力学方程进行扇区非线性处理，建立T⁃S模糊模型，然后设计出保证机器人系统渐近稳定的滑模控制器。对二连杆机器人进行给定轨迹实验时，系统具有良好的轨迹跟踪性能，系统误差很快收敛到零。实验结果表明该方法对非线性系统具有较强的鲁棒稳定性， 验证了该方法的有效性。

关键词： T⁃S模糊模型； 滑模控制； 轨迹跟踪控制； 机器人

中图分类号： TN911⁃34； TP273文献标识码： A 文章编号： 1004⁃373X（2014）08⁃0102⁃03

Robot trajectory tracking control based on T⁃S fuzzy model

LIU Gui⁃lin， GAO Dao⁃xiang， YAN Lei

（College of Technology， Beijing Forestry University， Beijing 100083， China）

Abstract： An adaptive sliding mode controller based on T⁃S fuzzy model was designed for overcoming the instability resulted from modelling error and perturbation of robotic tracking manipulator. A T⁃S fuzzy model is established by using sector nonlinearity processing for robot dynamic equations. The sliding mode controller is designed to ensure asymptotical stability of robot system. In the given track experiment of the two⁃link robot， the system achieved perfect trajectory tracking effect， and the system error was converged to zero rapidly. The results show that the method proposed in this paper has high robust stability for nonlinear system. The effectiveness of the method was verified in the experiment.

Keywords： T⁃S fuzzy model； sliding mode control； trajectory tracking control； robot

0引言

轨迹跟踪和稳定性是控制中的两个典型问题[1]。机器人轨迹跟踪控制的主要目的是通过给定各关节的驱动力矩，使得机器人的位置、速度等状态变量跟踪给定的理想轨迹[2]。传统的轨迹跟踪控制方法大多数是基于确定、定量化的数学模型来设计控制器，而现实世界大多数控制系统由于结构的复杂性和扰动的存在，系统精确的数学模型难以得到。但是，基于模型的控制可以让大多数复杂的非线性系统线性化[3]。针对非线性系统轨迹跟踪和稳定性问题，目前已做了大量的研究。文献[4]针对轮式移动机器人的非完整运动学模型，利用自适应反演控制技术设计了具有全局渐近稳定性的自适应控制器并利用李雅普诺夫理论证明了其具有全局渐近稳定，仿真结果验证了所设控制器的有效性和正确性。文献[5] 设计反演非奇异终端神经滑模控制处理具有不确定干扰和建模误差的多关节机械臂的轨迹跟踪问题，仿真结果表明该方法具有良好的轨迹跟踪性能。文献[6]针对具有广义不确定性的非线性系统，设计自适应模糊反演控制器，仿真结果表明该控制方法具有良好的动态品质和跟踪性能，对非线性控制系统具有很强的鲁棒性和自适应性。文献[7]在一种稳定的机器人神经网络（NN）控制器基础上，提出神经网络控制器和监督控制器相结合的控制方案，仿真结果表明该方法具有较好的鲁棒性和跟踪效果。文献[8]针对产生回归轨迹的连续非线性动态系统，基于确定学习理论，使用径向基函数神经网络为机器人任务空间跟踪控制设计了一种新的自适应神经网络控制算法，不仅实现了闭环系统所有信号的最终一致有界，而且在稳定的控制过程中，沿着回归跟踪轨迹实现了部分神经网络权值的方式存储，可以用来改进系统的控制性能，也可以应用到类似的控制任务中，能够有效地节约时间和能量。这些方法各有优劣，大多数都用性不强，或者控制器设计过程复杂。

Takagi和Sugeno在1985年提出了T⁃S模糊建模的方法。作为通用的逼近器，T⁃S模糊模型已被证明可以任意精度逼近非线性系统。本文针对机器人模型的非线性，通过扇区非线性方法建立T⁃S模糊模型，考虑到与实际模型之间的差异和扰动的存在，设计了滑模控制器，并利用李雅普诺夫理论证明了其稳定性。设计方法简单，通用性强。

1问题描述

1.1n连杆机器人动力学方程

不考虑摩擦力等外界干扰的作用，n连杆机器人的动力学方程可以表示为[9]：

[Mqq+Cq,qq+Gq=τ] （1）

式中：[q] ，[q] ，[q]是n×1向量，表示各个关节的位置，速度，加速度；[Mq]是机器人的n×1阶对称正定惯性矩阵；[Cq,qq]是n×1向量，表示离心力和哥氏力；[G(q)]是n×1向量，表示重力项；[τ]为外界输入的控制力矩。

令[x=(qT,qT)T]，则式（1）可改写为，

[Mx+Cx+G=u] （2）

式中：[M=IOOM；C=OIOC；G=OG；u=Oτ]

由于M正定，所以[M]可逆，式（2）两边同乘以[M-1]，可以改写为：

[x=Ax+Bu+Χ] （3）

式中：[A=-M-1C，B=-M-1，Χ=-M-1G]

取[xd]为指令，[e=x-xd]为误差，则：

[e=x-xd=Ae+Bu+Χ+Axd-xd] （4）

令[d(t)=Χ+Axd-xd]，则式（4）可改写为：

[e(t)=A(t)e(t)+B(t)u(t)+d(t)] （5）

1.2T⁃S模糊模型

机器人动力学方程可以由以下动力学T⁃S模糊模型表示，用IF⁃THEN规则描述为[10]：[规则i：if z1(t) is Fi1 and…and zp(t) is Fipthen e(t)=Ai(t)e(t)+Bi(t)u(t)+di(t)  i=1,2,…,m.] （6）

式中：[Fij(i=1,2…,m,j=1,2,…,p)]是由隶属度函数[μFji]描述的模糊集；[z1(t)～zp(t)]为可观测变量或非线性函数，即前件变量；m是模糊规则数；p是前件变量数。第i条规则的隶属度函数定义为[μi(z(t))=j=1pμFij(z(t))]，[i=1mμi(z(t))=1]。[u(t)∈Rn]是输入向量，[Ai(t),Bi(t)∈Rn×n,][di(t)∈Rn]分别是常数矩阵和向量。

由此式（5）可以改写为：

[e(t)=A(t)e(t)+B(t)u(t)+d(t)] （7）

式中：[A(t)=i=1mμiAi(t)，B(t)=i=1mμiBi(t)，d(t)=i=1mμidi(t)]

式（7）是在不考虑任何模型不确定性和内部扰动情况下对式（5）线性化的模糊模型，而式（7）和实际物理模型之间存在建模误差，为了分析这种方法的适用性和鲁棒性，加上扰动部分：

[e(t)=A(t)e(t)+B(t)u(t)+d(t)+Δp(e,u)] （8）

式中：

[Δp(e,u)≤ρ0+ρ1x(t)+ρ2u(t)] （9）

式中：常数[ρ0,ρ1,ρ2>0]。

1.3动力学T⁃S模糊模型的扇区非线性处理

文献[11]最早在模糊模型中使用了扇区非线性处理的方法。 假设动力学式（1）中[Mq]、[Cq,q]、[Gq]包含p个不同的非线性函数，这些非线性函数用[zi(x)(i=1,2,…,p)]表示。如果[zi(x)]的最大值和最小值[12]为[zmaxi]和[zmini]，那么：

[zi(x)=E1izmaxi+E2izmini，i=1,2,…,p] （10）

式中[E1j]和[E2j(j=1,2,…,p)]为隶属度函数，且满足[E1j+E2j=1]。因此，隶属度函数可以表示为：

[E1i=zi-zminizmaxi-zminiE2i=zmaxi-zizmaxi-zmini] （11）

式中：[i=1,2,…,p]。将式（8）代入机器人动力学方程式（5），在式（6）中可以得到机器人动力学T⁃S模糊模型，第i条规则的隶属度函数[Nji]可以选为[E1j]和[E2j]。

2滑模控制器的设计

取滑模函数为[S≜[s1 ,s2, …, sn] T∈Rn×1]，使得系统一旦进入到滑模面，则[S=0]。定义滑模面为:

[S=Ce]（12）

式中:[C={Λ,I}∈Rn×2n,Λ=diag(λ1…λn)>0,]向量[C]的选取满足[CB(t)]非奇异。

由式（8）、 式（12）可求得[S]关于时间的导数：

[S=CAe+CBu+Cd(t)+CΔp] （13）

取控制律为：

[u(t)=-[CB(t)]-1[CA(t)e+Cd(t)]+us(t)] （14）

式中：

[us(t)=-[CB(t)]-1[ξ1+ξ2+ C(ρ0+ρ1e)]SS,S≠00,           S=0] （15）

[ξ2=k [CB(t)]-1·C1-k[CB(t)]-1·C[ξ1+ C(Ae+d+ρ0+ρ1e)]] （16）

式中：[ξ1]是需要设计正常数，[ρ2≤k<1C·(CB)-1]。

证明：取李雅普诺夫函数为：

[V=12S2] （17）

当[S≠0]时，将式（17）对t求导，并结合式（9）、 式（13）得：

[[V=SS=S[CAe+CBu+Cd(t)+CΔp]  ≤S·CΔp-S[ξ1-ξ2-C·(ρ0+ρ1e)]  ≤(-ξ1-ξ2)S+C·S[ρ0+ρ1e+ρ2u-  (ρ0+ρ1e)]  ≤-ξ1S+S·[-ξ2+ρ2C·[CB(t)]-1·(CAe+  Cd+ξ1+ξ2+C(ρ0+ρ1e))]  ≤-ξ1S+S[-ξ2(1-kC[CB(t)]-1)+kC·  [CB(t)]-1(ξ1+C·(Ae+d+ρ0+ρ1e))]  ≤-qξ1S<0]&]

由此可知，在有限的时间内[V]和[S]将趋近于零。

3仿真实例

下面是一个关于二连杆机器人的仿真，机器人机械机构的具体参数设置：连杆质量[m1=10kg，][ m2=5kg]；连杆长度[r1=r2=1m]，连杆绕质心的转动惯量： [I1=56kg⋅m2, I2=512kg⋅m2]。机器人关节空间的期望轨迹为：

[q1d=sin(0.67t）+sin(0.3t)radq2d=sin(0.39t)+sin(0.5t)rad]

机器人关节的初始位置与速度为：

[q10=q20=1rad，q10=q20=0rad/s]

假设：[q1，q2∈[-π，π]；q1，q2∈[-4，4]]。

忽略摩擦力等干扰，其动力学方程为：[D11D12D12D22q1q2=F12q22+2F12q1q2 F12q21+h1gh2g+u1u2]（18）

式中：

[D11=(m1+m2)r21+m2r22+2m2r1r2cosq2+I1，D12=m2r22+m2r1r2cosq2，D22=m2r22+I2，h1=-(m1+m2)r1cosq1-m2r2cos(q1+q2)，h2=-m2r2cos(q1+q2)，F12=m2r1r2sinq2]

动力学方程中包含5个非线性条件：

[z1=m2r1r2cosq2z2=m2r1r2sinq2q2z3=m2r1r2sinq2q1z4=-m2r2cos(q1+q2)z5=-(m1+m2)r2cosq1] （19）

由于[zmaxi]和[zmini]由式（19）决定，将式（19）代入式（18），改写成式（5）形式，可以得到以下32条规则的动力学T⁃S模糊模型：

[[规则i：if z1(t) is Fi1 and…and z5(t) is Fi5then e(t)=Ai(t)e(t)+Bi(t)u(t)+di(t)  i=1,2,…,32 ]&]

仿真结果如图1、图2所示。其中，图1中轨迹1、2分别为连杆1、2的轨迹跟踪，图2为连杆1、2轨迹偏差。可以看出，系统跟踪误差很快收敛到零，到达稳定状态，响应时间快，跟踪效果较好。

图1 连杆1、2轨迹跟踪

图2 连杆1、2轨迹跟踪误差

4结语

针对具有建模误差和外部扰动的机器人轨迹跟踪问题设计了基于T⁃S模糊模型的滑模控制，与大多数T⁃S模糊控制不同，对具有非线性机器人模型进行了扇区非线性处理获得T⁃S模糊模型。利用李雅普诺夫理论证明了滑模控制系统的稳定性。由仿真结果可见，所设计的滑模控制，具有较好的轨迹跟踪性能，系统误差很快收敛到零，响应时间快，跟踪效果较好。实验结果表明该方法对非线性系统具有较强的鲁棒稳定性。

参考文献

[1] TSENG C S， CHEN B S， UANG H J. Fuzzy tracking control design for nonlinear dynamic systems via TS fuzzy model [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2001， 9（3）： 381⁃392.

[2] 王耀南，孙炜.机器人鲁棒轨迹跟踪控制系统[J].动力学与控制学报，2004（1）：75⁃81.

[3] CHEN B S， CHEN Y Y， LIN C L. Nonlinear fuzzy H∞ guidance law with saturation of actuators against maneuvering targets [J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology， 2002， 10（6）： 769⁃779.

[4] 李会来，李小民，陈静华.非完整移动机器人轨迹跟踪自适应控制器设计[J].传感器与微系统，2011，30（5）：104⁃106.

[5] 徐传忠，王永初.基于反演设计的机械臂非奇异终端神经滑模控制[J].机械工程学报，2012，48（23）：36⁃40.

[6] 朱国栋，林辉，王琛.一类带有广义不确定性非线性系统的自适应模糊反演控制[J].科学技术与工程，2012，12（15）：25⁃28.

[7] 弓洪玮，郑维.机器人轨迹跟踪的自适应模糊神经网络控制[J].计算机仿真，2010（8）：145⁃149.

[8] 吴玉香，王聪.基于确定学习的机器人任务空间自适应神经网络控制[J].自动化学报，2013，39（6）：806⁃815.

[9] 高道祥，薛定宇.基于 Matlab/Simulink 机器人鲁棒自适应控制系统仿真研究[J].系统仿真学报，2006，18（7）：2022⁃2025.

[10] CHENG C C， CHIEN S H. Adaptive sliding mode controller design based on T–S fuzzy system models [J]. Automatica， 2006， 42（6）： 1005⁃1010.

[11] KAWAMOTO S， TADA K， ISHIGAME A， et al. An approach to stability analysis of second order fuzzy systems [C]// 1992 IEEE International Conference on Fuzzy Systems. [S.l.]： IEEE， 1992： 1427⁃1434.

[12] SUN F， LI L， LI H X， et al. Neuro⁃fuzzy dynamic⁃inversion⁃based adaptive control for robotic manipulators⁃discrete time Case [J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2007， 54（3）： 1342⁃1351.

由此式（5）可以改写为：

[e(t)=A(t)e(t)+B(t)u(t)+d(t)] （7）

式中：[A(t)=i=1mμiAi(t)，B(t)=i=1mμiBi(t)，d(t)=i=1mμidi(t)]

式（7）是在不考虑任何模型不确定性和内部扰动情况下对式（5）线性化的模糊模型，而式（7）和实际物理模型之间存在建模误差，为了分析这种方法的适用性和鲁棒性，加上扰动部分：

[e(t)=A(t)e(t)+B(t)u(t)+d(t)+Δp(e,u)] （8）

式中：

[Δp(e,u)≤ρ0+ρ1x(t)+ρ2u(t)] （9）

式中：常数[ρ0,ρ1,ρ2>0]。

1.3动力学T⁃S模糊模型的扇区非线性处理

文献[11]最早在模糊模型中使用了扇区非线性处理的方法。 假设动力学式（1）中[Mq]、[Cq,q]、[Gq]包含p个不同的非线性函数，这些非线性函数用[zi(x)(i=1,2,…,p)]表示。如果[zi(x)]的最大值和最小值[12]为[zmaxi]和[zmini]，那么：

[zi(x)=E1izmaxi+E2izmini，i=1,2,…,p] （10）

式中[E1j]和[E2j(j=1,2,…,p)]为隶属度函数，且满足[E1j+E2j=1]。因此，隶属度函数可以表示为：

[E1i=zi-zminizmaxi-zminiE2i=zmaxi-zizmaxi-zmini] （11）

式中：[i=1,2,…,p]。将式（8）代入机器人动力学方程式（5），在式（6）中可以得到机器人动力学T⁃S模糊模型，第i条规则的隶属度函数[Nji]可以选为[E1j]和[E2j]。

2滑模控制器的设计

取滑模函数为[S≜[s1 ,s2, …, sn] T∈Rn×1]，使得系统一旦进入到滑模面，则[S=0]。定义滑模面为:

[S=Ce]（12）

式中:[C={Λ,I}∈Rn×2n,Λ=diag(λ1…λn)>0,]向量[C]的选取满足[CB(t)]非奇异。

由式（8）、 式（12）可求得[S]关于时间的导数：

[S=CAe+CBu+Cd(t)+CΔp] （13）

取控制律为：

[u(t)=-[CB(t)]-1[CA(t)e+Cd(t)]+us(t)] （14）

式中：

[us(t)=-[CB(t)]-1[ξ1+ξ2+ C(ρ0+ρ1e)]SS,S≠00,           S=0] （15）

[ξ2=k [CB(t)]-1·C1-k[CB(t)]-1·C[ξ1+ C(Ae+d+ρ0+ρ1e)]] （16）

式中：[ξ1]是需要设计正常数，[ρ2≤k<1C·(CB)-1]。

证明：取李雅普诺夫函数为：

[V=12S2] （17）

当[S≠0]时，将式（17）对t求导，并结合式（9）、 式（13）得：

[[V=SS=S[CAe+CBu+Cd(t)+CΔp]  ≤S·CΔp-S[ξ1-ξ2-C·(ρ0+ρ1e)]  ≤(-ξ1-ξ2)S+C·S[ρ0+ρ1e+ρ2u-  (ρ0+ρ1e)]  ≤-ξ1S+S·[-ξ2+ρ2C·[CB(t)]-1·(CAe+  Cd+ξ1+ξ2+C(ρ0+ρ1e))]  ≤-ξ1S+S[-ξ2(1-kC[CB(t)]-1)+kC·  [CB(t)]-1(ξ1+C·(Ae+d+ρ0+ρ1e))]  ≤-qξ1S<0]&]

由此可知，在有限的时间内[V]和[S]将趋近于零。

3仿真实例

下面是一个关于二连杆机器人的仿真，机器人机械机构的具体参数设置：连杆质量[m1=10kg，][ m2=5kg]；连杆长度[r1=r2=1m]，连杆绕质心的转动惯量： [I1=56kg⋅m2, I2=512kg⋅m2]。机器人关节空间的期望轨迹为：

[q1d=sin(0.67t）+sin(0.3t)radq2d=sin(0.39t)+sin(0.5t)rad]

机器人关节的初始位置与速度为：

[q10=q20=1rad，q10=q20=0rad/s]

假设：[q1，q2∈[-π，π]；q1，q2∈[-4，4]]。

忽略摩擦力等干扰，其动力学方程为：[D11D12D12D22q1q2=F12q22+2F12q1q2 F12q21+h1gh2g+u1u2]（18）

式中：

[D11=(m1+m2)r21+m2r22+2m2r1r2cosq2+I1，D12=m2r22+m2r1r2cosq2，D22=m2r22+I2，h1=-(m1+m2)r1cosq1-m2r2cos(q1+q2)，h2=-m2r2cos(q1+q2)，F12=m2r1r2sinq2]

动力学方程中包含5个非线性条件：

[z1=m2r1r2cosq2z2=m2r1r2sinq2q2z3=m2r1r2sinq2q1z4=-m2r2cos(q1+q2)z5=-(m1+m2)r2cosq1] （19）

由于[zmaxi]和[zmini]由式（19）决定，将式（19）代入式（18），改写成式（5）形式，可以得到以下32条规则的动力学T⁃S模糊模型：

[[规则i：if z1(t) is Fi1 and…and z5(t) is Fi5then e(t)=Ai(t)e(t)+Bi(t)u(t)+di(t)  i=1,2,…,32 ]&]

仿真结果如图1、图2所示。其中，图1中轨迹1、2分别为连杆1、2的轨迹跟踪，图2为连杆1、2轨迹偏差。可以看出，系统跟踪误差很快收敛到零，到达稳定状态，响应时间快，跟踪效果较好。

图1 连杆1、2轨迹跟踪

图2 连杆1、2轨迹跟踪误差

4结语

针对具有建模误差和外部扰动的机器人轨迹跟踪问题设计了基于T⁃S模糊模型的滑模控制，与大多数T⁃S模糊控制不同，对具有非线性机器人模型进行了扇区非线性处理获得T⁃S模糊模型。利用李雅普诺夫理论证明了滑模控制系统的稳定性。由仿真结果可见，所设计的滑模控制，具有较好的轨迹跟踪性能，系统误差很快收敛到零，响应时间快，跟踪效果较好。实验结果表明该方法对非线性系统具有较强的鲁棒稳定性。

参考文献

[1] TSENG C S， CHEN B S， UANG H J. Fuzzy tracking control design for nonlinear dynamic systems via TS fuzzy model [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2001， 9（3）： 381⁃392.

[2] 王耀南，孙炜.机器人鲁棒轨迹跟踪控制系统[J].动力学与控制学报，2004（1）：75⁃81.

[3] CHEN B S， CHEN Y Y， LIN C L. Nonlinear fuzzy H∞ guidance law with saturation of actuators against maneuvering targets [J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology， 2002， 10（6）： 769⁃779.

[4] 李会来，李小民，陈静华.非完整移动机器人轨迹跟踪自适应控制器设计[J].传感器与微系统，2011，30（5）：104⁃106.

[5] 徐传忠，王永初.基于反演设计的机械臂非奇异终端神经滑模控制[J].机械工程学报，2012，48（23）：36⁃40.

[6] 朱国栋，林辉，王琛.一类带有广义不确定性非线性系统的自适应模糊反演控制[J].科学技术与工程，2012，12（15）：25⁃28.

[7] 弓洪玮，郑维.机器人轨迹跟踪的自适应模糊神经网络控制[J].计算机仿真，2010（8）：145⁃149.

[8] 吴玉香，王聪.基于确定学习的机器人任务空间自适应神经网络控制[J].自动化学报，2013，39（6）：806⁃815.

[9] 高道祥，薛定宇.基于 Matlab/Simulink 机器人鲁棒自适应控制系统仿真研究[J].系统仿真学报，2006，18（7）：2022⁃2025.

[10] CHENG C C， CHIEN S H. Adaptive sliding mode controller design based on T–S fuzzy system models [J]. Automatica， 2006， 42（6）： 1005⁃1010.

[11] KAWAMOTO S， TADA K， ISHIGAME A， et al. An approach to stability analysis of second order fuzzy systems [C]// 1992 IEEE International Conference on Fuzzy Systems. [S.l.]： IEEE， 1992： 1427⁃1434.

[12] SUN F， LI L， LI H X， et al. Neuro⁃fuzzy dynamic⁃inversion⁃based adaptive control for robotic manipulators⁃discrete time Case [J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2007， 54（3）： 1342⁃1351.

由此式（5）可以改写为：

[e(t)=A(t)e(t)+B(t)u(t)+d(t)] （7）

式中：[A(t)=i=1mμiAi(t)，B(t)=i=1mμiBi(t)，d(t)=i=1mμidi(t)]

式（7）是在不考虑任何模型不确定性和内部扰动情况下对式（5）线性化的模糊模型，而式（7）和实际物理模型之间存在建模误差，为了分析这种方法的适用性和鲁棒性，加上扰动部分：

[e(t)=A(t)e(t)+B(t)u(t)+d(t)+Δp(e,u)] （8）

式中：

[Δp(e,u)≤ρ0+ρ1x(t)+ρ2u(t)] （9）

式中：常数[ρ0,ρ1,ρ2>0]。

1.3动力学T⁃S模糊模型的扇区非线性处理

文献[11]最早在模糊模型中使用了扇区非线性处理的方法。 假设动力学式（1）中[Mq]、[Cq,q]、[Gq]包含p个不同的非线性函数，这些非线性函数用[zi(x)(i=1,2,…,p)]表示。如果[zi(x)]的最大值和最小值[12]为[zmaxi]和[zmini]，那么：

[zi(x)=E1izmaxi+E2izmini，i=1,2,…,p] （10）

式中[E1j]和[E2j(j=1,2,…,p)]为隶属度函数，且满足[E1j+E2j=1]。因此，隶属度函数可以表示为：

[E1i=zi-zminizmaxi-zminiE2i=zmaxi-zizmaxi-zmini] （11）

式中：[i=1,2,…,p]。将式（8）代入机器人动力学方程式（5），在式（6）中可以得到机器人动力学T⁃S模糊模型，第i条规则的隶属度函数[Nji]可以选为[E1j]和[E2j]。

2滑模控制器的设计

取滑模函数为[S≜[s1 ,s2, …, sn] T∈Rn×1]，使得系统一旦进入到滑模面，则[S=0]。定义滑模面为:

[S=Ce]（12）

式中:[C={Λ,I}∈Rn×2n,Λ=diag(λ1…λn)>0,]向量[C]的选取满足[CB(t)]非奇异。

由式（8）、 式（12）可求得[S]关于时间的导数：

[S=CAe+CBu+Cd(t)+CΔp] （13）

取控制律为：

[u(t)=-[CB(t)]-1[CA(t)e+Cd(t)]+us(t)] （14）

式中：

[us(t)=-[CB(t)]-1[ξ1+ξ2+ C(ρ0+ρ1e)]SS,S≠00,           S=0] （15）

[ξ2=k [CB(t)]-1·C1-k[CB(t)]-1·C[ξ1+ C(Ae+d+ρ0+ρ1e)]] （16）

式中：[ξ1]是需要设计正常数，[ρ2≤k<1C·(CB)-1]。

证明：取李雅普诺夫函数为：

[V=12S2] （17）

当[S≠0]时，将式（17）对t求导，并结合式（9）、 式（13）得：

[[V=SS=S[CAe+CBu+Cd(t)+CΔp]  ≤S·CΔp-S[ξ1-ξ2-C·(ρ0+ρ1e)]  ≤(-ξ1-ξ2)S+C·S[ρ0+ρ1e+ρ2u-  (ρ0+ρ1e)]  ≤-ξ1S+S·[-ξ2+ρ2C·[CB(t)]-1·(CAe+  Cd+ξ1+ξ2+C(ρ0+ρ1e))]  ≤-ξ1S+S[-ξ2(1-kC[CB(t)]-1)+kC·  [CB(t)]-1(ξ1+C·(Ae+d+ρ0+ρ1e))]  ≤-qξ1S<0]&]

由此可知，在有限的时间内[V]和[S]将趋近于零。

3仿真实例

下面是一个关于二连杆机器人的仿真，机器人机械机构的具体参数设置：连杆质量[m1=10kg，][ m2=5kg]；连杆长度[r1=r2=1m]，连杆绕质心的转动惯量： [I1=56kg⋅m2, I2=512kg⋅m2]。机器人关节空间的期望轨迹为：

[q1d=sin(0.67t）+sin(0.3t)radq2d=sin(0.39t)+sin(0.5t)rad]

机器人关节的初始位置与速度为：

[q10=q20=1rad，q10=q20=0rad/s]

假设：[q1，q2∈[-π，π]；q1，q2∈[-4，4]]。

忽略摩擦力等干扰，其动力学方程为：[D11D12D12D22q1q2=F12q22+2F12q1q2 F12q21+h1gh2g+u1u2]（18）

式中：

[D11=(m1+m2)r21+m2r22+2m2r1r2cosq2+I1，D12=m2r22+m2r1r2cosq2，D22=m2r22+I2，h1=-(m1+m2)r1cosq1-m2r2cos(q1+q2)，h2=-m2r2cos(q1+q2)，F12=m2r1r2sinq2]

动力学方程中包含5个非线性条件：

[z1=m2r1r2cosq2z2=m2r1r2sinq2q2z3=m2r1r2sinq2q1z4=-m2r2cos(q1+q2)z5=-(m1+m2)r2cosq1] （19）

由于[zmaxi]和[zmini]由式（19）决定，将式（19）代入式（18），改写成式（5）形式，可以得到以下32条规则的动力学T⁃S模糊模型：

[[规则i：if z1(t) is Fi1 and…and z5(t) is Fi5then e(t)=Ai(t)e(t)+Bi(t)u(t)+di(t)  i=1,2,…,32 ]&]

仿真结果如图1、图2所示。其中，图1中轨迹1、2分别为连杆1、2的轨迹跟踪，图2为连杆1、2轨迹偏差。可以看出，系统跟踪误差很快收敛到零，到达稳定状态，响应时间快，跟踪效果较好。

图1 连杆1、2轨迹跟踪

图2 连杆1、2轨迹跟踪误差

4结语

针对具有建模误差和外部扰动的机器人轨迹跟踪问题设计了基于T⁃S模糊模型的滑模控制，与大多数T⁃S模糊控制不同，对具有非线性机器人模型进行了扇区非线性处理获得T⁃S模糊模型。利用李雅普诺夫理论证明了滑模控制系统的稳定性。由仿真结果可见，所设计的滑模控制，具有较好的轨迹跟踪性能，系统误差很快收敛到零，响应时间快，跟踪效果较好。实验结果表明该方法对非线性系统具有较强的鲁棒稳定性。

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