李高峰

(唐山学院唐山市结构与振动工程重点实验室，河北唐山063000)

非线性电容RLC串联电路的1/2次亚谐共振分析*

李高峰*

(唐山学院唐山市结构与振动工程重点实验室，河北唐山063000)

以非线性电容RLC串联电路为研究对象，运用拉格朗日方法建立了系统的微分方程，应用多尺度法求得1/2次亚谐共振的一次近似解并进行数值计算。分析电阻、电感、电容和电动势对幅频响应曲线的影响。结果表明，电阻可以抑制振幅值，电动势可以增大振幅值。电阻增加后电流减弱，非线性也就变弱。运用MATLAB的Simulink工具，对RLC串联电路系统进行仿真。

RLC电路;非线性电容;多尺度法;1/2次亚谐

非线性电抗，如变容二极管，在许多领域的电气工程已经使用范围广泛。在设计参数放大器、上频器、混音器、低功率微波振荡器、电子调谐装置等电路时，非线性电容可作为其中的一部分。非线性元件电路是指由非线性元件构成的电路，如线圈、电容等构成的 LR，CR，LC，RLC(Resistance Inductance Capacitance)电路等。詹士昌用普通钨丝灯泡、变压器线圈和电容组成的非线性RLC串联铁磁谐振电路［1］。王小艳用数值方法对非线性RLC串并联电路的暂态过程进行了分析研究，得到了非线性RLC电路的一些普遍特征［2］。杨志安研究电阻和电感非线性RLC电路耦合系统的非线性振动，建立受简谐激励的具有电阻和电感非线性RLC电路耦合系统的数学模型，根据非线性振动的多尺度法，得到系统满足共振条件的一次近似解以及对应的定常解［3-6］。崔一辉分别用龙格库塔法和级数法计算了在无外激励的情况下，有阻尼和无阻尼时系统分别对应的时间响应［7］。常秀芳从分析实际问题入手，依据闭合电路定律，从中建立RLC振荡电路的数学模型［8］。Homsup N和Homsup W利用Newton-Raphson迭代法证明直流非线性电路在稳态模拟状态下是慢收敛的［9］。Blankenstein G通过混合势函数描述考虑不受约束的控制电压或电流源非线性RLC电路动力学问题［10］。Chakravarthy S K研究了具有spurious energisation特征的电路非线性振动［11］。AliOksasoglu和 Dimitry Vavriv研究了RLC电路在弱非线性激励下，适当的系统参数也能使系统产生混沌现象［12］。

电工中常利用某些元器件的非线性。例如避雷器的非线性特性表现在高电压下电阻值变小，这性质被用来保护雷电下的电工设备;铁心线圈的非线性由磁场的磁饱和引起，这性质被用来制造直流电流互感器。音频信号发生器的自激振荡电路中因有放大器这一非线性元件而成为非线性电路。

本文的非线性电容是电荷控制型，以非线性电容RLC串联电路振动方程为基础，研究电路的1/2次亚谐共振［13］问题。

1 RLC串联电路的振动方程

图1给出RLC串联电路，电阻R、电感L、电容C和电动势u(t)=Emcos(ωt)串接，具有阻尼力和电场力作用。电路中的电容是非线性电容，库伏特性为u(q)=…。由此可知，RLC串联电路是非线性系统。

图1 非线性RLC串联电路

拉格朗日方法是用广义坐标，从能量的观点研究系统的动力学问题。图1电路取电荷q为广义坐标，则电流i=q˙，系统的磁能为。库伏特性仅取3次方，由此可得电容器的电能，系统的拉格朗日函数La=Wm-We。

根据拉格朗日-麦克斯韦方程，可得到该系统的运动微分方程为

进一步得

对式(1)进行处理，可得著名的达芬(Duffing)方程为

2 1/2次亚谐共振理论分析［13］

系统的阻尼力、非线性力与惯性力和线性力相比是小量，所以在它们前面冠以小参数ε，利用多尺度法求解式(2)，首先引入时间尺度T0=t，T1=εt，ε是小参数，则有微分算子

设1/2次亚谐共振的一次近似解为

将式(4)代入式(2)，比较ε同次幂的系数得

方程(5)的通解为

将式(7)代入式(6)得

符号NNT为共轭复数项。

研究系统的1/2次亚谐共振［13］，引入调谐参数σ，由下式确定:

消除共轭复数条件为

由式(4)得相应的一次近似解为

式中a和φ由式(11)给出。

令D1a=0，D1φ=0，两式平方相加得到:

产生上述1/2亚谐共振的原因是Duffing系统具有平方非线性。这种高频激励诱发低频共振的现象在工程中屡见不鲜。例如，1956年，Lefschetz报道一架飞机的螺旋桨激发出机翼的1/2次共振，机翼共振又激发了尾翼的1/4次共振，以致飞机被破坏。避免上述危险是研究非线性振动的目的之一。

3 1/2次亚谐共振数值分析

在下面的数值计算中取以下参数:R=400 Ω，Em=10 V，L=30 H，C0=0.000 1 F，由式(13)可以计算系统1/2次亚谐共振的响应曲线，分析不同参数对响应曲线的影响。

图2是1/2次亚谐共振的幅频响应曲线，实线的振幅大，渐近稳定，虚线的振幅小且不稳定;随着调谐幅值的增加，幅值增加最后趋于稳定。图2(a)为3种不同电动势的幅频响应曲线，随着电动势的增加，系统的共振区间增大，但共振幅值减小。图2(b)为2种不同电阻的幅频响应曲线，随着电阻的增加，系统的共振区域减小，共振幅值的上边曲线下移，下边曲线上移，向里边瘦了一圈。这是由于电阻增加后电流减弱，非线性也就变弱的缘故。由图2(c)知随着电感增加，系统幅值增加的越来越快，共振区域减小并向右偏移。由图2(d)知随着电容增加，系统的共振区间增大且向左偏移，共振幅值减小了但幅度不大，最终会趋于同一范围值。图2(e)和图2(f)电荷系数是幅频响应曲线。电荷系数k3不仅影响振动幅值的变化趋势，还影响共振区域的偏移，这与图2(c)类似。电荷系数k2只影响共振区域，振动幅值的增长趋势并无变化，这与图2(b)类似。由此可知，电动势、电容、电感的数值的变化对系统共振区间和振幅均可影响系统。

图2 幅频响应曲线

图3 振幅-电动势响应曲线

图3为在2种调谐值作用下，随电动势变化的振动响应曲线。在有共振响应的范围内，随着电动势的增大，振幅减小，只有在共振区域内才有解。图4为3种调谐值σ作用下，系统随电荷系数k2改变的振动响应曲线。在共振响应的范围内，随着电荷系数k2的增大，振幅增大;当调谐值σ＞0时，幅频响应曲线具有跳跃现象和滞后现象;在调谐值σ≤0时，系统振动幅值逐渐增加，趋于稳定，跳跃现象和滞后现象消失。

图5为2种调谐值σ作用下，系统随电荷系数k3改变的振动响应曲线。在有共振响应的范围内，随着电荷系数k3的增大，振幅减小。图6为3种调谐值σ作用下，随电容变化的振动响应曲线。在3组固定参数下均存在最大幅值。在共振响应的范围内，随着电容的增大，振幅先增大再减小。

图4 振幅-电荷系数k2应曲线

图5 振幅-电荷系数k3应曲线

图6 振幅-电容响应曲线

图7为3种调谐值作用下随系统电感改变的振动响应曲线。当调谐值增加，系统的振动幅值增加，当调谐值σ＞0时，随着电感的增加系统的振动幅值增大，并趋于稳定。系调谐值σ=20时，图线由原来的两只合并成一条图线。

图7 振幅-电感响应曲线

图8为振幅-电阻响应曲线，3组给定调谐参数的响应曲线均存在跳跃现象。调谐值越大系统的振动幅值滞后性越强，逐渐出现了跳跃现象。

由图3～图8分析可知，在满足一定的条件σ≥ 0时，振幅与各个参数之间的响应曲线，也具有跳跃现象和滞后现象，这在非线性系统是很少见的。

图8 振幅-电阻响应曲线

4 Simulink仿真分析

Simulink是一个用来对动态系统进行建模、仿真和分析的软件包。它支持线性和非线性系统，连续和离散时间模型，或者是两者的混合。基于非线性电容的RLC串联电路的振动微分方程式(2)建立框图，如图9。在Simulink的仿真参数选项菜单中选龙格库塔算法进行数值模拟，通过Scope模块和XY Graph模块可以得到位移的时间曲线以及位移和速度的相图。

图9 Simulink模型

图10是模拟时间为2 s和5 s的1/2次亚谐共振时间响应曲线，由图可知随着时间的增加电流减小增大交替出现，总体呈减小趋势，最后趋于稳定，这说明在开始时电容的放电振动比较大，最后趋于稳定。图11为模拟时间为2 s和5 s的1/2次亚谐共振时的电流与电荷相图曲线，由图11可知随着时间的增加相图从外向内逐渐收敛，随着时间的增加系统电流减小，这与数值计算结果是吻合的。

图10 1/2亚谐共振时间响应曲线

图11 1/2亚谐共振相位响应相图

5 结论

建立了基于非线性电容的RLC串联电路的微分方程，得到1/2次亚谐共振系统的常微分方程。分析了电源、电感、电容等参数变化的影响，得到幅频响应曲线。电阻对1/2次亚谐共振区有抑制作用;1/2次亚谐共振系统的振幅随着电动势的增加不断增大，并且共振区增大。结合实际情况对曲线进行分析，得到一些结论对此类机构的动态设计具有指导意义。振幅与各个参数之间的响应曲线，在满足一定的条件时，有跳跃现象和滞后现象出现，在非线性系统是很少见的。非线性电容RLC串联电路有丰富的非线性动力行为。

［1］ 詹士昌，梁方束.RLC电路非线性现象产生机制的研究［J］.杭州师范学院学报(自然科学版)，2002(4):31-33，38.

［2］ 王小艳.非线性RLC电路特性的数字仿真研究［J］.高压电器，2001(6):52-54.

［3］ 杨志安，崔一辉.非线性电阻电感型RLC串联电路主共振分析［J］.天津大学学报，2007，40(5):579-583.

［4］ 杨志安，崔一辉.电感非线性RLC电路弹簧耦合系统3次亚谐共振研究［J］.电子器件，2008，(3):988-991.

［5］ 杨志安，贾尚帅.RLC串联电路与微梁耦合系统1∶2内共振分析［J］.应用力学学报，2010，27(1):80-85，225.

［6］ 杨志安，贾尚帅.RLC串联电路与微梁耦合系统的吸合电压与电振荡［J］.应用力学学报，2010，27(4):721-726，850.

［7］ 崔一辉，杨志安.RLC电路弹簧耦合系统的级数解［J］.振动与冲击，2006，25(4):76-77，108，177.

［8］ 常秀芳，李高.RLC-振荡电路中的数学模型［J］.山西大同大学学报(自然科学版)，2009，25(1):71-73.

［9］ Homsup N，Homsup W.Unconstrained Optimization Method for Finding DC Operating points of RLC Nonlinear Circuits［C］// Modelling and Simulation(MS’99).1999:606-607.

［10］ Blankenstein G.Geometric Modeling of Nonlinear RLC Circuits［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems.Ⅰ.Regular Papers，2005，52(2):396-404.

［11］Chakravarthy S K.Nonlinear Oscillations Due to Spurious Energisation of Transformers［J］.EE Proc-Electr Power Appl，1998，145 (6):585-592.

［12］Ali Oksasoglu.Dimitry Vavriv Interaction of Low and High Frequency Oscillation in a Nonlinear RLC Circuit［J］.IEEE Transaction on Circuit and Systems-Ⅰ:Fundamental Theory and Application，1994，41 (10):669-672.

［13］Nayfeh A H，Mook D T.Nonlinear Oscillation［M］.New York:Wiley-Interscience，1979:96-99.

李高峰(1977- )，女，讲师，硕士，主要从事非线性动力学研究，ligaofeng0315@163.com。

1/2 Subharmonic Resonance Analysis of RLC Series Circuit with Nonlinear Capacitance*

LI Gaofeng*

(Tangshan College and Tangshan Key Laboratory of Structure and Vibration Engineering，Tangshan Hebei 063000，China)

Aiming at the research object for RLC series circuit with nonlinear capacitance，using Lagrange method to establish the differential equations of the system，the first approximate solution of 1/2 subharmonic resonance of the nonlinear vibration system is obtained by means of the method of multiple scales for nonlinear oscillations.Numerical analyses on the influence of the parameters of inductance，capacitance and electromotive force(emf)on the amplitude frequency response curve are，as follows，that is，with the increasing of resistance，the amplitude and resonant region of the primary resonance decrease and with the increasing of electromotive force(emf)，the amplitude and resonant region of the primary resonance increase.With the increasing resistance，the current is abate，and than the nonlinearity will weaken.The system of RLC series circuit is simulated by using MATLAB Simulink tool.

RLC circuit;nonlinear capacitance;multiple scales;1/2 subharmonic resonance

10.3969/j.issn.1005－9490.2014.02.017

O321;TM503.2

A

1005－9490(2014)02－0249－05

项目来源:河北省自然基金项目(A2009000997);唐山市科技计划项目(1313021106)

2013-05-28修改日期:2013-06-16

EEACC:1230B