任祖华，王柏林

（河海大学 能源与电气学院，江苏 南京 210098）

0 引言

非线性和冲击性负荷的投入使用，不仅给电网带来大量的高次谐波和间谐波，同时给电力系统造成明显的电压波动[1]，除了影响其他用电设备的正常运行，还可能引起照明灯光的闪烁，即闪变。国内外闪变仪测量电压波动的主要方法有平方检测法、整流检测法和有效值检测法[2]，这些方法对于稳定的单一频率成分的调幅波检测较为准确，而在处理时变的电压波动信号时，可能会带来误差。大多数的电压闪变的检测和分析是通过准确提取电压波动信号，再对波动信号进行频谱分析得到所含的各种低频谐波分量的频率和幅值，信号的分析单纯在时域或频域展开。Hilbert变换方法是提取波动信号包络的有效方法，但需要设计滤波器滤除高频分量，且滤波器输出的前一段数据不稳定，使得闪变包络波形很短或很不完整[3]。小波变换法存在小波基函数不唯一的问题，合适的小波基不好选择，且硬件实现起来比较困难，计算量也较大[4-5]。盲信号分离需要构造一个嵌入矩阵作为盲信号分离的输入信号，运用二阶盲辨识算法分离低频分量，对分离后的各个分量利用峰值比较法来确定频率，再利用包络信号构造一组超定方程求解各个频率对应的幅值，算法比较复杂[6]。

本文介绍一种基于S变换的时频分析方法，对电压闪变信号的局部特性进行时域和频域的二维联合表示。利用S变换的时域、频域特性，分析电压闪变信号的频率-时间、幅值-时间和幅值-频率信息，进一步通过调节高斯窗口的宽度实现其时频谱的多分辨率分析，从而对电压闪变频率、幅值和闪变起止时刻进行准确测量。而且信号的S变换与其傅里叶谱直接相关，算法易于实现。

1 多分辨率S变换

1.1 S变换原理

S变换是Stockwell于1996年提出的，是介于短时傅里叶变换和小波变换之间的一种非平稳信号分析方法，它具有局部时频分析的性质[7-8]。S变换的时频谱分辨率与频率有关，不但有多尺度聚焦性，而且与其傅里叶谱直接相关。

对于时变信号x（t），其傅里叶变换为：

将信号 x（t）乘以一个高斯窗口函数 g（t），就得到信号的S变换：

由式（3）、（4）可见，高斯窗口的高度和宽度随频率而变化，克服了短时傅里叶变换窗口高度和宽度固定的缺陷。因此，通过S变换不仅可以获得某一时刻的频率信息，还可获得在某一频率上信号的幅值信息，即S变换具有良好的时频特性[9-10]。

另外，由式（3）、（4）可知，改变参数 α 的大小可以调节高斯窗口的宽度，从而改变S变换的时频分辨率，如果频率分辨率要求高，就选取较大的α值，反之亦然，从而使得S变换具有多分辨率的特性。

把（3）、（4）代入式（2），得到 x（t）的 S 变换：

由于S（τ，f）为一个复数矩阵，因此可表示为：

其中，A（τ，f）为S矩阵的幅值矩阵，即S模矩阵；φ（τ，f）为S矩阵的相位矩阵。A（τ，f）和φ（τ，f）的行向量分别为信号某一采样时刻的幅值和相位随频率变化的分布，列向量分别为信号某一频率处的幅值和相位随时间变化的分布。

1.2 S变换的实现

对离散信号的S变换可以通过快速傅里叶变换（FFT）实现[11]。 对于采样信号 x（kTs）（k=0，1，…，N-1，Ts为采样时间，N为采样点数），其离散傅里叶变换为：

其中，r、m、n 取值为 0、1、2、…、N-1。

为方便，记 x（kTs）为 x（k），）为 H（n），下面给出S变换的计算步骤：

a.由式（7）对离散时间信号 x（k）进行 FFT 得到其离散傅里叶频谱H（m）；

b.由式（9）计算对应于离散频率n的高斯函数G（m，n）；

c.根据卷积定理，由离散傅里叶频谱H（m）得到 H（m+n），并计算出 B（m，n）=H（m+n）G（m，n）；

d.由式（8）计算 B（m，n）的反傅里叶变换得到矩阵S（n，r）对应于离散频率n的行。

e.重复步骤b—d计算出对应于所有的离散频率的矩阵 S（n，r）的所有行。

2 电压闪变检测

2.1 闪变信号模型

电压闪变可看成是以工频额定电压为载波信号，被 0.05～35 Hz低频调幅波信号调制的结果[12]，若考虑高次谐波成分，则闪变电压u（t）可表示为：

其中，f0为基波频率；mi、fi、φi为第 i个调幅波的相对幅值、频率和相位；mhj、φhj为第j次谐波的相对幅值和相位。闪变测量就是要检出波动信号的调幅波，即各闪变分量的频率、幅值，以便进一步计算闪变统计量和衡量闪变的严重程度。

2.2 电压闪变信号的S变换

由1.1节可知，S变换的结果包含了频率-时间、幅值-时间和幅值-频率的信息，反映了信号的时频特征，满足了电压闪变信号的波动幅值、调制频率以及闪变起止时刻的分析要求。

图1（a）为电压波动信号的时域波形，包含基波和8 Hz的调幅波，调幅波幅值为基波的10%；图1（b）为其S变换的三维曲线。可见，幅值-时间（采样点）曲线反映了电压信号的时域信息，幅值-频率曲线反映了其频域信息，而频率-时间（采样点）曲线则反映了不同频率分量的起止时间。图1中幅值为标幺值，后同。

图1 电压闪变信号及其S变换曲线图Fig.1 Voltage flicker signal and its S-transform curves

2.2.1 闪变信号幅值、频率与S矩阵之间的关系

由1.2节计算出的S矩阵的行代表频率，列代表时间，即S模矩阵的行向量为信号某一频率处的幅值随时间变化的分布，列向量为信号某一采样时刻的幅值随频率变化的分布。

因此，S矩阵的幅值-时间曲线对应于电压信号的时域采样信息，可通过对S模矩阵按列求极大值获得，则信号的时域包络为：

幅值-频率曲线反映了其频域信息，可通过对S模矩阵按行求极大值获得，则信号各频率成分所对应的幅值可由式（9）得到：

2.2.2 多分辨率分析

根据不相容原理（Heisenberg不等式），采用联合的时频表示，不能同时得到理想的时间分辨率和频率分辨率，两者是一对矛盾的量。即：对于能量有限的任意信号 s（t）或窗函数 h（t），其时宽和带宽的乘积总是满足下面的不等式：

其中，Th和Bh分别为时宽和带宽，Δtk和Δωk分别为时间分辨率和频率分辨率[13]。

在电压闪变检测中，为了得到闪变的幅值包络，需要高的时间分辨率；而为了检测出调制频率，则需要高的频率分辨率，这二者是不能同时满足的。由1.1节可知，改变参数α的大小可以调节高斯窗口的宽度，从而改变S变换的时频分辨率。下面讨论α的大小对时域和频域分辨率的影响。

假设电压波动信号为基波叠加8.8 Hz的闪变分量，分别取 α 的值为0.15、2、50和 500，分析 α 的大小对时间分辨率和频率分辨率的影响。

图2为α取值较小（分别取0.15和2）时所对应的信号时域、频域曲线，图3为α取值较大（分别取50和500）时所对应的信号时域、频域曲线。可见，α取值较小可以得到较好的时域波形（电压波动包络），如图 2（a）、（b）所示；然而信号频率成分分辨不出，如图 2（c）、（d）所示，无法检出工频和调制频率。随着α的增大，对频率的分辨越来越清晰，如图3（d）所示，当α取值为500时就可准确检测出50 Hz的工频以及工频附近的8.8 Hz的调制频率分量，但其时域波动无法体现，如图 3（a）、（b）所示。可见，如果时间分辨率要求高，就选取较小的α值，反之，如果频率分辨率要求高，就选取较大的α值。

图2 α取值较小时所对应的信号时域和频域曲线Fig.2 Time domain curve and frequency domain curve when α is small

图3 α取值较大时所对应的信号时域和频域曲线Fig.3 Time domain curve and frequency domain curve when α is large

由以上分析可知，可以通过改变窗函数的宽度实现S变换的多分辨率，即通过调节α的大小，来改变其时间分辨率和频率分辨率。选取小的α值提高时间分辨率，获得电压闪变信号的波动幅值，选取大的α值提高频率分辨率得到精确的调制频率。

3 仿真结果

3.1 单一调制频率的电压闪变

假设电压工频信号频率为50 Hz，相对幅值为1，采样率为500 Hz，调幅波频率为8.8 Hz，相对幅值为10%，调幅波发生的时间为2～5 s。

图4是S模矩阵的幅值-时间曲线，即信号的时域幅值包络，反映了10%的调制波引起的电压波动，起止时间对应第1000～2500个采样点，为提高时域分辨率，此时α取0.25。图5是波动信号的频域特性曲线，为了清晰分辨出调制频率，排除工频信号的影响，这里通过对包络信号（即图4中的信号）进行S变换，S模矩阵所对应的幅值-频率曲线反映了波动信号的各频率成分（即闪变频率），由图5可见，可以明显辨识出8.8 Hz的调制频率，此时α取值为500。图6是S模矩阵所对应的频率-时间曲线，可以看出8.8 Hz的频率发生的时间区间大致对应第1000～2500个采样点（即2～5 s），此时α取为30。

图4 电压闪变信号的幅值包络曲线（α=0.25）Fig.4 Amplitude envelope curve offlicker signal（α=0.25）

图5 波动信号的频域特性曲线（α=500）Fig.5 Frequency domain curve offluctuation signal（α=500）

图6 闪变发生的时间（α=30）Fig.6 Occurrence time of flicker（α=30）

3.2 多调制频率的电压闪变

考虑含有高次谐波时，同时包含多个调制频率的闪变信号，假设3次和5次谐波的相对幅值分别为0.1和0.05，多频闪变各参数设置如表1所示，其中调幅波幅值为标幺值。

图7是包含高次谐波的多频闪变信号曲线。图8是S模矩阵的幅值-时间曲线，即信号的时域幅值包络，可以看出在不同的时间区间分别存在3种频率的电压波动，调制波的幅值分别为0.024、0.039和0.064。图9是多频闪变波动信号的频域特性曲线，为了提高频率分辨率，需要取较大的α值，此处α取500，幅值-频率曲线可以明显地分辨出3种调制频率（即闪变频率）分别为5 Hz、8.8 Hz和20 Hz。图10是S模矩阵所对应的频率-时间曲线，可以看出各个频率发生的时间区间与表1中的起止时刻一致。

表1 多频闪变信号仿真参数Tab.1 Simulation parameters of multi-frequency flicker signal

图7 电压闪变信号Fig.7 Voltage flicker signal

图8 多频闪变信号的幅值包络曲线（α=0.04）Fig.8 Amplitude envelope curve of multi-frequency flicker signal（α=0.04）

图9 多频闪变波动信号的频域特性曲线（α=500）Fig.9 Frequency domain curve of multi-frequency fluctuation signal（α=500）

图10 多频闪变发生的时间（α=20）Fig.10 Occurrence time of multi-frequency flicker（α=20）

3.3 调幅波幅值非平稳的闪变信号

假设幅值非平稳的调幅波信号为：

经此调幅波调制的电压波动信号如图11所示。经S变换之后，可以得到信号的时域包络见图12，闪变信号的频域特性曲线见图13，闪变发生的起止时刻见图14。可见，对于非平稳的调幅波信号，S变换也能准确检测：闪变频率为10 Hz，调制波幅值变化见图12，闪变发生的时间为0～2 s和4～6s。

图11 含有非平稳调幅波的电压闪变信号Fig.11 Voltage flicker signal containing nonstationary amplitude modulation wave

图12 闪变信号的幅值包络曲线（α=-0.05）Fig.12 Amplitude envelope curve of flicker signal（α=-0.05）

图13 闪变信号的频域特性曲线（α=500）Fig.13 Frequency domain curve of fluctuation signal（α=500）

图14 闪变发生的时间（α=30）Fig.14 Occurrence time of multi-frequency flicker（α=30）

4 结论

本文介绍了一种基于S变换的时频分析方法，对电压闪变信号的局部特性进行时域和频域的二维联合表示，S变换的结果包含了频率-时间、幅值-时间和幅值-频率的信息，满足电压闪变信号中对波动幅值、调制频率以及闪变发生的起止时刻的分析要求。本文研究了S变换中时间分辨率和频率分辨率的不相容性，分析了高斯窗口的宽度对分辨率的影响，即调节α的大小可以使得S变换具有多分辨率的特性，实现了电压闪变的准确测量，仿真结果证明了算法的有效性。