孙俊胜

学生进入高二，学习了立体几何一段时间之后，在一次练习中，我们遇到了这样一道题目：在空间四边形中，互相垂直的边最多有多少对？我当场报出答案：6对！这个答案顿时引起全班学生的一片哗然，他们强烈要求马上讲这道题。

事实上，我在做这道题目的时候，误把题中的“空间四边形”读作“空间四面体”。如图：PA，AB，AC两两垂直，则有6对相互垂直的棱PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，PC⊥AB，PB⊥AC，AB⊥AC。

我当时估计学生可能出现的“错误”是：想当然地看到了相交垂直，没有认识有异面垂直的情况，为了“暴露学生的错误”，并且“帮助学生有效地改正错误”，就请学生上前说明自己的做法。

一、风波生，讨论起

先是顾丹上来，她果然画出了上面的图形，指出PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，忽略了异面垂直的情形。当我得意洋洋地“指出错误”的时候，有个别学生说：“老师题目中是‘空间四边形呀！”我仔细看了一下，呀！果然是把题目看错了。我心里一紧，糟了，这可如何是好！是草草收场，下课我自己认真研究一番之后再给学生答复，还是硬着头皮讨论下去当场给学生一个解答呢？

此时，学生群情激奋，彼此讨论得异常热烈。有的埋头作图，有的创建模型，丝毫没有作罢的意思。而且看着他们如此认真地投入，更是不忍心打断他们。况且解决这个问题的过程，依赖于学生对空间图形的认识和对垂直的相关关系的理解。于是，我决定先由学生自由探讨，再让他们展示成果，最后师生共同总结。

二、展成果，辨正误

经过一段时间的讨论，学生都不同程度地形成了自己的认识，我提议现场“发布”他们各部分的“研究成果”。场面真是相当壮观。他们一改平日里提问时吞吞吐吐、欲言又止的状况，争先恐后地说，声音更是响亮。

一展：一个女生宣布：“有四对！”随之拿出了自己的模型（一个正方形的便笺纸），沿对角线BD翻折：“翻折之后，如果我还让AB⊥BC且CD⊥AD，不就有四对了吗？”

■ ■

辨：乍一听，似乎言之有理。稍作思考之后，马上就有了疑问：“问题是，AB⊥BC且CD⊥AD的情况存在吗？”经过紧张的论证之后，他们得出结论：“不存在！”

还是这个女生自己推翻了先前的观点：“翻折前，翻折后，此时的AC长是小于翻折前的AC长，不满足勾股定理，所以AB⊥BC不能成立！同理，CD⊥AC也不能成立！”

二展：紧接着，另一个女生展示了自己的成果：相当于把刚刚的正方形沿着BD撕开，翻转后对接，使得DC垂直于另一个平面。而后再重新命名为：空间四边形P-CDB那么可以得到，，再由PB⊥面BCD，可得PB⊥BD。结论：有三对！

■ ■

辨：其他学生马上提出疑问：“除此之外，难道没有其它边相互垂直了吗？”一个男生补充道：“不是有CD⊥BC吗？”其他学生纷纷反驳：“BC是这个空间四边形的对角线，又不是边！”说得此男生连连点头，俯首称臣。

学生换了一种拼接方式，让两个直角顶点对接，得到类似于开始上课时的空间四边形MNOP：MP，PO，PN两两垂直。经过研究，得到结论：互相垂直的边仍然是有三对。那么根据刚才的研究是不是可以得出结论：最多有三对呢？有部分同学立即投入否定刚才这个结论的研究中，能不能再找到一对，有四对边垂直呢？

三展：另一个男生拿出几支笔，搭建了模型，提出了自己的猜想：保证1垂直于2，2垂直于3，转动4，能不能使得4同时与1和3都垂直呢？如果存在的话不就有四对边垂直了吗？

辨：刚一听，觉得还挺有道理。可仔细一想，如此一来，2和4就都是异面直线1与2的公垂线段了吗？

于是，假设错误。再于是，得到了一个类似于定理的结论：空间四边形的四个角不可能都是直角！得到了这样一个结论之后，他们都既兴奋又高兴，还有一点满足，还有一些意犹未尽。

三、大胆猜，严谨证

大家讨论热烈，积极探讨。等到把大家所能想到都研究过了，他们开始边犹豫，边试探：是不是真的最多只有三对呢？又如何才能严格地证明这样的猜想呢？这需要严格地分类讨论。

在刚才的理论“空间四边形的四个角不可能都是直角”的支持下进行讨论：

1.如果有三个内角是直角

图：角A，B，C分别是直角。已经有三对直角。

先考虑边1，若1⊥3，因为原本3⊥2，所以得到CB⊥面ABD，则3⊥BD与3⊥4矛盾。

再考虑边2，若2⊥4，可得2⊥BD，与2⊥1矛盾。

……

这样，逐一考虑结束之后，可以得出结论：在这种情况下，只有三对边垂直。

2.如果有两个内角是直角

（1）如果这两个内角相邻：角A，B是直角。考虑边1的话，1最多与3垂直。考虑2的话，2不可能与4垂直（否则2⊥BD，与2⊥1矛盾）。这样又可以得到结论：在这种情况下，只有三对边垂直。

（2）如果这两个内角相对：角A，C是直角。考虑边1的话，1最多与3垂直。考虑2的话，2不可能与4垂直（否则2⊥AC，与3⊥AC矛盾）。这样又可以得到结论：在这种情况下，只有三对边垂直。这个图形，其实就是二展中所展示的图形。

3.如果只有一个内角是直角

比如，上述的四边形中只有角A是直角。那么考虑边1的话，1最多与3垂直。考虑2的话，2最多4垂直。结论成立。

4.如果没有一个内角是直角

如果没有一个内角是直角，那么最多1与3垂直，2与4垂直，结论依然成立。

四、喟教训，促反思

讨论至此，这道最初因我误读而起的风波已经慢慢地平息了下来，大家都沉浸在提出问题、探索问题、解决问题的喜悦之中。在他们在激动和兴奋之中整理知识的时候，我也开始了反思。

由于我的粗心与失误，引起了这种强烈的冲突。还好最终问题得到了圆满解决。试想，如果问题展开了最终却没有获得解决，会造成什么样的后果！无论是数学学术还是现实生活，都有像这次误读一样因小失大、一字之差谬之千里的事情发生。下课之时，师生共同总结教训：读题目时，一定要逐字逐句；做人做事，一定要小心谨慎。

这场意外，却意外地引起学生浓厚的兴趣。全班同学无一例外地投身于这场热烈的讨论与探究之中，非常认真，非常主动，非常合作，前所未有。从知识上，这节课中他们搭建的模型、做出的图形都是集垂直于一身的典型题目。上完这节课，他们对线线垂直、线面垂直都有了非常深刻的认识；他们在这节课上经历了先猜后证、先归纳后总结的全过程，完整地体会了一个未知的结论诞生的过程。尤其值得称道的是，他们居然还能从研究过程中整理出一个结论：空间四边形的四个角不可能都是直角，并把它作为“引例”证明之后的结论，而这种方法是大学以后才涉入及并使用的。

由此，我开始反思自己的教学方法。以前按步就班的方法的确过于沉闷，不是学生不愿意配合，不是学生不愿意主动，而是我没有给学生营造这样的气氛。以后再上题目讲评课的时候，完全可以采用“我的错题我来评”，或者是“老师出错我来纠”等方法，引发学生的兴趣。

由此看来，一线教师在教书的同时，一定要深挖教材，做到“家中有粮心不慌”。

参考文献：

[1]傅海伦.对当前中学数学课堂教学的总结与反思[J].教育科学研究，2009（3）.

[2]欧蕾.浅析运用思维转换法创造性地学习[J].贵州社会主义学院学报，2008（2）.

学生进入高二，学习了立体几何一段时间之后，在一次练习中，我们遇到了这样一道题目：在空间四边形中，互相垂直的边最多有多少对？我当场报出答案：6对！这个答案顿时引起全班学生的一片哗然，他们强烈要求马上讲这道题。

事实上，我在做这道题目的时候，误把题中的“空间四边形”读作“空间四面体”。如图：PA，AB，AC两两垂直，则有6对相互垂直的棱PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，PC⊥AB，PB⊥AC，AB⊥AC。

我当时估计学生可能出现的“错误”是：想当然地看到了相交垂直，没有认识有异面垂直的情况，为了“暴露学生的错误”，并且“帮助学生有效地改正错误”，就请学生上前说明自己的做法。

一、风波生，讨论起

先是顾丹上来，她果然画出了上面的图形，指出PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，忽略了异面垂直的情形。当我得意洋洋地“指出错误”的时候，有个别学生说：“老师题目中是‘空间四边形呀！”我仔细看了一下，呀！果然是把题目看错了。我心里一紧，糟了，这可如何是好！是草草收场，下课我自己认真研究一番之后再给学生答复，还是硬着头皮讨论下去当场给学生一个解答呢？

此时，学生群情激奋，彼此讨论得异常热烈。有的埋头作图，有的创建模型，丝毫没有作罢的意思。而且看着他们如此认真地投入，更是不忍心打断他们。况且解决这个问题的过程，依赖于学生对空间图形的认识和对垂直的相关关系的理解。于是，我决定先由学生自由探讨，再让他们展示成果，最后师生共同总结。

二、展成果，辨正误

经过一段时间的讨论，学生都不同程度地形成了自己的认识，我提议现场“发布”他们各部分的“研究成果”。场面真是相当壮观。他们一改平日里提问时吞吞吐吐、欲言又止的状况，争先恐后地说，声音更是响亮。

一展：一个女生宣布：“有四对！”随之拿出了自己的模型（一个正方形的便笺纸），沿对角线BD翻折：“翻折之后，如果我还让AB⊥BC且CD⊥AD，不就有四对了吗？”

■ ■

辨：乍一听，似乎言之有理。稍作思考之后，马上就有了疑问：“问题是，AB⊥BC且CD⊥AD的情况存在吗？”经过紧张的论证之后，他们得出结论：“不存在！”

还是这个女生自己推翻了先前的观点：“翻折前，翻折后，此时的AC长是小于翻折前的AC长，不满足勾股定理，所以AB⊥BC不能成立！同理，CD⊥AC也不能成立！”

二展：紧接着，另一个女生展示了自己的成果：相当于把刚刚的正方形沿着BD撕开，翻转后对接，使得DC垂直于另一个平面。而后再重新命名为：空间四边形P-CDB那么可以得到，，再由PB⊥面BCD，可得PB⊥BD。结论：有三对！

■ ■

辨：其他学生马上提出疑问：“除此之外，难道没有其它边相互垂直了吗？”一个男生补充道：“不是有CD⊥BC吗？”其他学生纷纷反驳：“BC是这个空间四边形的对角线，又不是边！”说得此男生连连点头，俯首称臣。

学生换了一种拼接方式，让两个直角顶点对接，得到类似于开始上课时的空间四边形MNOP：MP，PO，PN两两垂直。经过研究，得到结论：互相垂直的边仍然是有三对。那么根据刚才的研究是不是可以得出结论：最多有三对呢？有部分同学立即投入否定刚才这个结论的研究中，能不能再找到一对，有四对边垂直呢？

三展：另一个男生拿出几支笔，搭建了模型，提出了自己的猜想：保证1垂直于2，2垂直于3，转动4，能不能使得4同时与1和3都垂直呢？如果存在的话不就有四对边垂直了吗？

辨：刚一听，觉得还挺有道理。可仔细一想，如此一来，2和4就都是异面直线1与2的公垂线段了吗？

于是，假设错误。再于是，得到了一个类似于定理的结论：空间四边形的四个角不可能都是直角！得到了这样一个结论之后，他们都既兴奋又高兴，还有一点满足，还有一些意犹未尽。

三、大胆猜，严谨证

大家讨论热烈，积极探讨。等到把大家所能想到都研究过了，他们开始边犹豫，边试探：是不是真的最多只有三对呢？又如何才能严格地证明这样的猜想呢？这需要严格地分类讨论。

在刚才的理论“空间四边形的四个角不可能都是直角”的支持下进行讨论：

1.如果有三个内角是直角

图：角A，B，C分别是直角。已经有三对直角。

先考虑边1，若1⊥3，因为原本3⊥2，所以得到CB⊥面ABD，则3⊥BD与3⊥4矛盾。

再考虑边2，若2⊥4，可得2⊥BD，与2⊥1矛盾。

……

这样，逐一考虑结束之后，可以得出结论：在这种情况下，只有三对边垂直。

2.如果有两个内角是直角

（1）如果这两个内角相邻：角A，B是直角。考虑边1的话，1最多与3垂直。考虑2的话，2不可能与4垂直（否则2⊥BD，与2⊥1矛盾）。这样又可以得到结论：在这种情况下，只有三对边垂直。

（2）如果这两个内角相对：角A，C是直角。考虑边1的话，1最多与3垂直。考虑2的话，2不可能与4垂直（否则2⊥AC，与3⊥AC矛盾）。这样又可以得到结论：在这种情况下，只有三对边垂直。这个图形，其实就是二展中所展示的图形。

3.如果只有一个内角是直角

比如，上述的四边形中只有角A是直角。那么考虑边1的话，1最多与3垂直。考虑2的话，2最多4垂直。结论成立。

4.如果没有一个内角是直角

如果没有一个内角是直角，那么最多1与3垂直，2与4垂直，结论依然成立。

四、喟教训，促反思

讨论至此，这道最初因我误读而起的风波已经慢慢地平息了下来，大家都沉浸在提出问题、探索问题、解决问题的喜悦之中。在他们在激动和兴奋之中整理知识的时候，我也开始了反思。

由于我的粗心与失误，引起了这种强烈的冲突。还好最终问题得到了圆满解决。试想，如果问题展开了最终却没有获得解决，会造成什么样的后果！无论是数学学术还是现实生活，都有像这次误读一样因小失大、一字之差谬之千里的事情发生。下课之时，师生共同总结教训：读题目时，一定要逐字逐句；做人做事，一定要小心谨慎。

这场意外，却意外地引起学生浓厚的兴趣。全班同学无一例外地投身于这场热烈的讨论与探究之中，非常认真，非常主动，非常合作，前所未有。从知识上，这节课中他们搭建的模型、做出的图形都是集垂直于一身的典型题目。上完这节课，他们对线线垂直、线面垂直都有了非常深刻的认识；他们在这节课上经历了先猜后证、先归纳后总结的全过程，完整地体会了一个未知的结论诞生的过程。尤其值得称道的是，他们居然还能从研究过程中整理出一个结论：空间四边形的四个角不可能都是直角，并把它作为“引例”证明之后的结论，而这种方法是大学以后才涉入及并使用的。

由此，我开始反思自己的教学方法。以前按步就班的方法的确过于沉闷，不是学生不愿意配合，不是学生不愿意主动，而是我没有给学生营造这样的气氛。以后再上题目讲评课的时候，完全可以采用“我的错题我来评”，或者是“老师出错我来纠”等方法，引发学生的兴趣。

由此看来，一线教师在教书的同时，一定要深挖教材，做到“家中有粮心不慌”。

参考文献：

[1]傅海伦.对当前中学数学课堂教学的总结与反思[J].教育科学研究，2009（3）.

[2]欧蕾.浅析运用思维转换法创造性地学习[J].贵州社会主义学院学报，2008（2）.

学生进入高二，学习了立体几何一段时间之后，在一次练习中，我们遇到了这样一道题目：在空间四边形中，互相垂直的边最多有多少对？我当场报出答案：6对！这个答案顿时引起全班学生的一片哗然，他们强烈要求马上讲这道题。

事实上，我在做这道题目的时候，误把题中的“空间四边形”读作“空间四面体”。如图：PA，AB，AC两两垂直，则有6对相互垂直的棱PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，PC⊥AB，PB⊥AC，AB⊥AC。

我当时估计学生可能出现的“错误”是：想当然地看到了相交垂直，没有认识有异面垂直的情况，为了“暴露学生的错误”，并且“帮助学生有效地改正错误”，就请学生上前说明自己的做法。

一、风波生，讨论起

先是顾丹上来，她果然画出了上面的图形，指出PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，忽略了异面垂直的情形。当我得意洋洋地“指出错误”的时候，有个别学生说：“老师题目中是‘空间四边形呀！”我仔细看了一下，呀！果然是把题目看错了。我心里一紧，糟了，这可如何是好！是草草收场，下课我自己认真研究一番之后再给学生答复，还是硬着头皮讨论下去当场给学生一个解答呢？

此时，学生群情激奋，彼此讨论得异常热烈。有的埋头作图，有的创建模型，丝毫没有作罢的意思。而且看着他们如此认真地投入，更是不忍心打断他们。况且解决这个问题的过程，依赖于学生对空间图形的认识和对垂直的相关关系的理解。于是，我决定先由学生自由探讨，再让他们展示成果，最后师生共同总结。

二、展成果，辨正误

经过一段时间的讨论，学生都不同程度地形成了自己的认识，我提议现场“发布”他们各部分的“研究成果”。场面真是相当壮观。他们一改平日里提问时吞吞吐吐、欲言又止的状况，争先恐后地说，声音更是响亮。

一展：一个女生宣布：“有四对！”随之拿出了自己的模型（一个正方形的便笺纸），沿对角线BD翻折：“翻折之后，如果我还让AB⊥BC且CD⊥AD，不就有四对了吗？”

■ ■

辨：乍一听，似乎言之有理。稍作思考之后，马上就有了疑问：“问题是，AB⊥BC且CD⊥AD的情况存在吗？”经过紧张的论证之后，他们得出结论：“不存在！”

还是这个女生自己推翻了先前的观点：“翻折前，翻折后，此时的AC长是小于翻折前的AC长，不满足勾股定理，所以AB⊥BC不能成立！同理，CD⊥AC也不能成立！”

二展：紧接着，另一个女生展示了自己的成果：相当于把刚刚的正方形沿着BD撕开，翻转后对接，使得DC垂直于另一个平面。而后再重新命名为：空间四边形P-CDB那么可以得到，，再由PB⊥面BCD，可得PB⊥BD。结论：有三对！

■ ■

辨：其他学生马上提出疑问：“除此之外，难道没有其它边相互垂直了吗？”一个男生补充道：“不是有CD⊥BC吗？”其他学生纷纷反驳：“BC是这个空间四边形的对角线，又不是边！”说得此男生连连点头，俯首称臣。

学生换了一种拼接方式，让两个直角顶点对接，得到类似于开始上课时的空间四边形MNOP：MP，PO，PN两两垂直。经过研究，得到结论：互相垂直的边仍然是有三对。那么根据刚才的研究是不是可以得出结论：最多有三对呢？有部分同学立即投入否定刚才这个结论的研究中，能不能再找到一对，有四对边垂直呢？

三展：另一个男生拿出几支笔，搭建了模型，提出了自己的猜想：保证1垂直于2，2垂直于3，转动4，能不能使得4同时与1和3都垂直呢？如果存在的话不就有四对边垂直了吗？

辨：刚一听，觉得还挺有道理。可仔细一想，如此一来，2和4就都是异面直线1与2的公垂线段了吗？

于是，假设错误。再于是，得到了一个类似于定理的结论：空间四边形的四个角不可能都是直角！得到了这样一个结论之后，他们都既兴奋又高兴，还有一点满足，还有一些意犹未尽。

三、大胆猜，严谨证

大家讨论热烈，积极探讨。等到把大家所能想到都研究过了，他们开始边犹豫，边试探：是不是真的最多只有三对呢？又如何才能严格地证明这样的猜想呢？这需要严格地分类讨论。

在刚才的理论“空间四边形的四个角不可能都是直角”的支持下进行讨论：

1.如果有三个内角是直角

图：角A，B，C分别是直角。已经有三对直角。

先考虑边1，若1⊥3，因为原本3⊥2，所以得到CB⊥面ABD，则3⊥BD与3⊥4矛盾。

再考虑边2，若2⊥4，可得2⊥BD，与2⊥1矛盾。

……

这样，逐一考虑结束之后，可以得出结论：在这种情况下，只有三对边垂直。

2.如果有两个内角是直角

（1）如果这两个内角相邻：角A，B是直角。考虑边1的话，1最多与3垂直。考虑2的话，2不可能与4垂直（否则2⊥BD，与2⊥1矛盾）。这样又可以得到结论：在这种情况下，只有三对边垂直。

（2）如果这两个内角相对：角A，C是直角。考虑边1的话，1最多与3垂直。考虑2的话，2不可能与4垂直（否则2⊥AC，与3⊥AC矛盾）。这样又可以得到结论：在这种情况下，只有三对边垂直。这个图形，其实就是二展中所展示的图形。

3.如果只有一个内角是直角

比如，上述的四边形中只有角A是直角。那么考虑边1的话，1最多与3垂直。考虑2的话，2最多4垂直。结论成立。

4.如果没有一个内角是直角

如果没有一个内角是直角，那么最多1与3垂直，2与4垂直，结论依然成立。

四、喟教训，促反思

讨论至此，这道最初因我误读而起的风波已经慢慢地平息了下来，大家都沉浸在提出问题、探索问题、解决问题的喜悦之中。在他们在激动和兴奋之中整理知识的时候，我也开始了反思。

由于我的粗心与失误，引起了这种强烈的冲突。还好最终问题得到了圆满解决。试想，如果问题展开了最终却没有获得解决，会造成什么样的后果！无论是数学学术还是现实生活，都有像这次误读一样因小失大、一字之差谬之千里的事情发生。下课之时，师生共同总结教训：读题目时，一定要逐字逐句；做人做事，一定要小心谨慎。

这场意外，却意外地引起学生浓厚的兴趣。全班同学无一例外地投身于这场热烈的讨论与探究之中，非常认真，非常主动，非常合作，前所未有。从知识上，这节课中他们搭建的模型、做出的图形都是集垂直于一身的典型题目。上完这节课，他们对线线垂直、线面垂直都有了非常深刻的认识；他们在这节课上经历了先猜后证、先归纳后总结的全过程，完整地体会了一个未知的结论诞生的过程。尤其值得称道的是，他们居然还能从研究过程中整理出一个结论：空间四边形的四个角不可能都是直角，并把它作为“引例”证明之后的结论，而这种方法是大学以后才涉入及并使用的。

由此，我开始反思自己的教学方法。以前按步就班的方法的确过于沉闷，不是学生不愿意配合，不是学生不愿意主动，而是我没有给学生营造这样的气氛。以后再上题目讲评课的时候，完全可以采用“我的错题我来评”，或者是“老师出错我来纠”等方法，引发学生的兴趣。

由此看来，一线教师在教书的同时，一定要深挖教材，做到“家中有粮心不慌”。

参考文献：

[1]傅海伦.对当前中学数学课堂教学的总结与反思[J].教育科学研究，2009（3）.

[2]欧蕾.浅析运用思维转换法创造性地学习[J].贵州社会主义学院学报，2008（2）.