唐 敦

(中国人民大学附属中学，北京100080)

行列式计算是数值计算的基本问题之一.如果方阵仅对角线位置处元素非0，则称为对角阵；如果仅对角线及次对角线处元素非0，则称为三对角阵；依次类推定义五对角、七对角阵，等.我们知道，微分方程(组)是自然科学和工程设计的主要描述方式，在社会科学(如经济学)中也发挥着日益重要的作用.对这些微分方程离散化后得到的矩阵，往往都是对角阵，且每一条对角、次对角线上的元素分别相等.以下我们将研究的，就是这样的五对角、七对角方阵的行列式[1].

目前已有的研究工作大多是关于三对角行列式的.例如，孙家昶院士于1982年提出一种计算三对角行列式的方法[2].2002年，杨胜良研究了该行列式的一种特例，并提出了这种三对角行列式在诸多问题中的应用[3].关于五对角行列式，蔺大正于1986年的一篇论文[4]中，计算了对角线、次对角线、次次对角线元素分别相等时该行列式序列的值.为此，他定义了另外两个形式的行列式序列，得出递推关系，用母函数法求解通项公式的求法，其表达式和证明都比较繁琐，而且通项公式不是显式的.对于某些特殊的五对角行列式，则不断有研究成果[5-7].此外，我们没有查到任何关于七对角行列式的结论.事实上，如后文可见，递推关系式相应的特征多项式的阶次高于五次，一般而言不能公式求解，因此很难得到显式的通项公式.有一些研究者进而转为探讨计算机……