安全成 张家志 薄婷婷

(1.川庆钻探工程公司钻采工程技术研究院长庆分院，西安 710019;2.长庆油田公司第四采气厂，西安 710000)

通过井口的压力、温度、产量等条件预测产水气井井筒中的压力分布，通常是将井筒分为若干段，根据井口条件依次计算井筒每一段流体的压力梯度，最终得到井筒压力分布。目前最为常用的数值解法是迭代法和龙格库塔法［1］。为寻求最适宜的数值解法，有必要分析不同的数值解法对计算精度以及计算时间的影响，从而了解其优劣，为计算产水气井井底压力提供指导。

1 井筒压降模型

将井筒中多相管流考虑为稳定的一维流动问题，管轴作为坐标轴z，规定其正向与流体流动方向一致。定义管斜角θ为坐标轴z与水平方向的夹角，根据质量守恒、动量守恒可得到普适化的压力梯度方程［2］:

持液率与摩阻系数是求解上述方程的关键参数，由于气液两相管流机理复杂，通常需要通过实验采用因次分析的方法确定特定流动过程中的无因次参数，进而得到不同流型下的持液率和摩阻系数，本文采用目前工程上最常用的H－B经验模型［3］，模型中的天然气黏度采用Lee公式［4］，天然气偏差系数采用DAK公式［5］，其他物性公式参照文献［6］。

2 数值解法

压力梯度方程(1)的右端包含了流体物性、运动参数及其有关的无因次变量，难以求其解析解。通常将井筒分为若干段，从井口段开始采用迭代法或龙格库塔方法逐段计算下一段压力。而前一类方法又可分为变管段长度增量法和变压力增量法。

2.1 迭代法

迭代法通常也叫试错法，先设定压力增量Δp或管段长度增量Δz，估计其对应的管段长度增量Δz′或对应的压力增量Δp′，再根据该段内平均压力、温度按式(1)计算出压力梯度，进而由式(2)计算出压力增量对应的管段长度增量Δzi(或由式(3)计算出管段长度增量对应的压力增量Δpi)，直至计算的Δzi或 Δpi接近估计值 Δz′或 Δp′，否则将计算值作为估计值重新迭代。

2.2 龙格库塔法

可将压力梯度方程(1)处理为常微方程的初值问题，用F(z，p)代替方程(1)的右端，以井口z0处压力p0作为初值条件，则

这类常微分方程可采用具有较高精度的四阶龙格库塔法值求解，需要先设定压力增量Δp，再按式(5)～式(9)求出下部井深zi+1，直至达到井底深度为止。

式中:pi—第i段上部压力，Pa;zi、zi+1—分别为第i段上部和下部井深，m。

3 实例对比分析

以某井为例分析不同数值计算方法对产水气井井筒压力的影响，该井的基本参数如表1所示，实测井底压力为16.14 MPa。分别采用3种数值方法计算其井底压力，并按表2中所设定的参数范围分析不同数值解法的迭代次数与误差分布，结果如图1—3所示。

表1 实例井基本参数

表2 数值方法设定的参数范围

图1 变管段增量形式迭代法的迭代次数与误差

由图1知，变管段长度增量形式的迭代法在较低压力增量范围内具有较高精度，但迭代次数较多;在较高压力增量范围内虽然迭代次数较少，但精度降低。当压力增量在0.4～1.2 MPa时，绝对误差为0，而迭代次数≤50。

图2 变压力增量形式迭代法的迭代次数与误差

由图2知，变压力增量形式的迭代法在管段分段数较低时，虽然迭代次数较少，但精度较低;在管段分段数较高时，精度较低，迭代次数也较多，只有当管段分段数在10～40时，绝对误差为0，迭代次数≤100。相比而言，变管段增量形式的迭代法比变压力增量形式的迭代法具有更强的适应性，因为前者的压力增量较低时能够一直保持较高精度，而后者的管段分段数较高或较低均会影响计算精度。

图3 龙格库塔法迭代次数与绝对误差的关系

由图3知，龙格库塔法无论压力增量为多少，都能够保持较高精度，只是在低压力增量时迭代次数较高。将变管段长度增量形式的迭代法同龙格库塔法进行对比如图4、图5所示。结果表明:龙格库塔法与迭代法迭代次数相当，但龙格库塔法在更宽压力步长范围内比迭代法精度高，当压力增量达6 MPa时，绝对误差比迭代法计算的绝对误差低了约80%。因此龙格库塔法性能优于迭代法。

图4 龙格库塔法与迭代法迭代次数对比

5 结论

(1)变压力增量形式的迭代法与变管段增量形式的迭代法相比，前者在较低或较高管段分段数条件下精度均较低，适应性不强;而后者在较低的压力增量范围内能够保持高精度，略优于前者，但在高压力增量范围内精度较低。

图5 龙格库塔法与迭代法绝对误差对比

(2)龙格库塔法相比其他2种方法在较宽的压力增量范围内均具有最佳的精度，且迭代次数与变管段增量形式的迭代法相当，推荐其为产水气井井底压力数值求解方法。

［1］李颖川.定向井气液两相流压力计算数值方法［J］.天然气工业，1990，10(2):24-29.

［2］李颖川.采油工程［M］.北京:石油工业出版社，2009:22.

［3］Hagedorn A R，Brown K E.Experimental Study of Pressure Gradients Occurring During Continuous Two-Phase Flow in Small Diameter Vertical Conduits［J］.Journal of Petroleum Technology，1965，17(4):75-84 .

［4］Lee，Anthony L.Viscosity of Natural Gases［J］.Journal of Petroleum Technology，1966:997.

［5］Dranchuk P M，Abu-Kassem J H.Calculation of Z Factors for Natural Gases Using Equations of State［J］.J.Cdn.Pet.Tech.，1975，14(3):34-36.

［6］李仕伦.天然气工程［M］.北京:石油工业出版社，2000:23-47.