宋扬

摘 要：解方程的问题，就是要把已知方程通过变形转化为最简方程，但在变形过程中，有时可能为同解变形，有时可能为非同解变形，本文就方程的同解性和非同解性做重点探讨和理论研究.

关键词：同解变形；非同解变形；检验；同解理论

解方程是由已知探究未知的重要方法. 解决实际问题时列出方程后，求出方程的正确的解就成了首要问题. 在解方程的变形过程中，有时得到的最简方程与原方程的解集相同，有时得到的解集不同，这都需要方程的同解性和非同解性理论为其提供有力的依据.

[?] 方程的同解概念

1. 同解概念的引入

先看一个实例，解方程2x+5=3，第一步推导过程：若2x+5=3成立?2x=-2?x=-1；第二步推导过程：若x=-1成立?2x=-2?2x+5=3，明显可以看出，这里每一步推导都是可逆的. 对于“推导的每一步都可逆”这种可逆性（一种等价关系），称为同解.

2. 同解方程的定义

定义1 方程f（x）=g（x）（1）与方程f1（x）=g1（x）（2），若（1）的解是（2）的解，则方程（2）称为方程（1）的结果方程，简称结果.

例题中方程x=-1是方程2x+5=3的结果；方程2x+5=3是方程x=-1的结果，可以说方程2x+5=3与方程x=-1互为结果，这样的两个方程称为同解方程.

定义2 若方程（2）是方程（1）的结果，且方程（1）是方程（2）的结果，则方程（1）和（2）称为同解方程，简称同解.

由上述定义可知，原方程经过可逆变换得到最简方程，这样最简方程与原方程是同解的. 若是由原方程经过不可逆变换得到的最简方程，即若f（x）=g（x）?x=a，b，c，…，而不能倒推回去，那只能说后者是前者的结果，这时必须经过检验，将求出的数一个个加以检验，看是否为原方程的解.