刘叙含， 申晓红， 姚海洋， 邓 欣

(1.西北工业大学 航海学院，陕西 西安 710000；2.湛江南海西部石油勘察设计有限公司，广东 湛江 524057)

0 引 言

传统的奈奎斯特采样定理要求信号的采样速率必须达到信号最高频率的2倍或2倍以上才能够精确重构原始信号。2004年,Donoho D L和Candès Emmanuel等人提出的压缩感知(compressed sensing，CS)理论突破了奈奎斯特定理的局限，是近年来信息处理领域的一个重大突破[1～3]。

压缩感知包括以下三方面内容：信号的稀疏表示、观测矩阵的设计和信号的重构。观测矩阵在信号采样和数据重建环节发挥着至关重要的作用。常用的观测矩阵分为三类。第一类包括高斯随机观测矩阵、贝努利随机观测矩阵等，这类随机观测矩阵需要大存储空间、高计算复杂度；第二类包括部分傅里叶矩阵、部分哈达玛矩阵等，这类观测矩阵只与时域、频域稀疏的信号不相关，不具有普适性；第三类包括托普利兹矩阵、二进制稀疏矩阵等，这类观测矩阵是针对某一特定信号而设计的，应用范围存在很大的局限性。目前，各文献中最常用的观测矩阵为高斯随机观测矩阵。

针对目前常用的三类观测矩阵存在的缺陷，本文提出了一种基于帐篷混沌序列的观测矩阵的构造方法。与典型的随机观测矩阵相比，帐篷混沌观测矩阵具备了混沌系统优异的伪随机性，易于产生和实现。通过对二维图像信号进行仿真实验，结果表明:所设计的帐篷混沌观测矩阵不仅在信号重构时的性能优于随机观测矩阵，并且在硬件实现、存储方面的优势也远远大于随机高斯观测矩阵。

1 压缩感知理论

压缩感知理论的核心思想是将压缩与采样合并进行。该理论指出，只要信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，那么就可以用一个与变换基不相干的观测矩阵将高维信号投影到一个低维空间上，然后通过求解优化问题即可从这些少量的投影中以高概率重构原始信号，可以证明这些少量的投影包含了重构信号所需的足够信息。

设X为实值有限的一维离散信号，长度为N，它可以看作是RN空间的N×1维列向量。若信号X在一个正交变换基组成的变换矩阵ψ∈RN×N下能表示为

X=ψΘ.

其中,Θ=[θ1,θ2,…,θN]T称为信号X在基矩阵ψ下的投影系数向量。理想情况下，若Θ中非零值的个数K≪N，则认为X在ψ域中是K稀疏的。在实际中，对于由少量幅度较大的值和大量幅度较小的值组成的信号，Cande E J和Tao T在研究信号的稀疏表示时提出可以通过变换系数的衰减速度来衡量变换基的稀疏表示能力，并指出信号如果在某域的变换系数满足具有幂次(power-law)速度衰减，就可以用压缩感知理论得到恢复[4]。

利用一个与ψ不相关的观测矩阵Φ∈RM×N对信号进行观测，从而获得观测值Y

Y=ΦΘ=ΦΨ-1X=ACSX.

其中,Y是包含M个线性观测值的一维列向量，而这些少量的观测值包含了重构原始信号X的足够信息。理论上，观测矩阵和稀疏信号之间应满足有限等距性质(restricted isometry property，RIP)[5]。

信号的重构是指，在已知ψ,Φ,Y的条件下，选择合适的重构算法恢复原始信号X。由于M≪N，即方程的个数远远小于未知数的个数，因此,从Y中恢复X是一个欠定问题，其解不唯一。然而，由于X是K稀疏的，可在满足一定条件下通过求解一个非线性优化问题,从ψ,Φ,Y中近乎完美地重建信号[6]。

2 基于混沌观测矩阵的压缩感知

高斯随机观测矩阵之所以能够作为最常用的观测矩阵，主要在于它与绝大多数正交矩阵不相关，并且当M≥cKlg(N/K)时随机高斯矩阵便以极高的概率满足RIP性质，其中,c是一个很小的常数，K为稀疏度[7]。

虽然随机观测矩阵具有以上优点被普遍地作为观测矩阵，但所有的随机观测矩阵都存在以下不足：1)随机矩阵的产生具有不确定性，需要通过大量的实验求均值的方法来降低不确定性对实验结果带来的影响；2)在实际应用中，该类观测矩阵计算复杂度高，占用存储空间大，而且硬件难以实验。

混沌理论揭示了确定性与随机性的统一，由混沌系统产生的序列具有优异的伪随机性[8]，易于产生和重现。与随机系统相比，混沌系统的参数和初始值一旦确定，混沌系统每一时刻的状态是可以完全重现的，存储和传输的参数较少，可大大减少存储空间和传输带宽的压力。由于混沌序列可以克服随机观测矩阵的不足，可以考虑将其应用在压缩感知观测矩阵的设计中。

帐篷映射[9]是一种应用相当广泛的离散混沌系统，其映射方程的数学表达式为

xn+1=a-(1+a)|xn|.

其中,a∈(0,1)。本文仿真实验中令a=0.999，迭代初值x0=0.01。当迭代次数n=10 000时，迭代点空间分布图如图1所示。

图1 帐篷映射迭代点空间分布图

整体来看，所有迭代点均匀地分布在(-1,1)的区间内，遍布了整个有界区域，但各个点却又是杂乱分布，没有规律，这正体现了混沌序列的伪随机性。利用迭代产生的序列{x1,x2,…，xn}设计帐篷混沌观测矩阵如下

3 仿真实验

本节利用3种典型的随机观测矩阵，即高斯随机观测矩阵、贝努力观测矩阵、离散余弦观测矩阵与所设计的帐篷混沌观测矩阵进行对比，分别对数据量不同的二维图像信号进行压缩和重构。

分别以40×40的二值紫荆花图像和70×70的二值字母图像为例，原始图像如图2(a),(b)所示。对2个图像进行离散余弦变换(DCT)，得到频域稀疏信号，如图3、图4所示；再分别采用帐篷混沌观测矩阵和3种典型的随机观测矩阵对稀疏信号进行观测，得到压缩信号；最后采用匹配追踪(MP)算法[10]进行重构。

图2 原始图像

图3 二值紫荆花图像的DCT波形

图4 二值字母图像的DCT波形

利用不同观测矩阵对紫荆花图像进行观测，当观测值M=1000时，重构结果如图5所示。

图5 M=1 000时不同观测矩阵的重构结果

利用不同观测矩阵对字母图像进行观测，当观测值M=3 000时，重构结果如图6所示。

图6 M=3 000时不同观测矩阵的重构结果

可以直观地看出:采用帐篷混沌观测矩阵进行观测时，紫荆花图像和字母图像的重构效果更佳。当观测值不同时，对2幅图像采用不同观测矩阵得到的重构误码率分别如图7、图8所示。

图7 二值紫荆花图像重构结果对比

图8 二值字母图像重构结果对比

图7、图8表明:采用帐篷混沌观测矩阵，其重构的误码率性能也是优于随机观测矩阵的。由于随机观测矩阵的每一次产生都具有不确定性，为了减小不确定性对仿真结果的误差影响，其误码率是1000次蒙特—卡洛仿真求平均的结果。而帐篷混沌观测矩阵具有确定性，只需一次仿真即可得到结果，这是帐篷混沌观测矩阵的优势之一。

通过仿真验证了帐篷混沌观测矩阵的确克服了随机观测矩阵的不足：1)帐篷混沌观测矩阵的参数和初始值一旦确定，可以在任何时刻完全重现，克服了随机观测矩阵需要大量实验求均值来降低不确定性对实验的影响的缺陷；2)随机观测矩阵在仿真实验中需要存储和传输整个巨大的

观测矩阵中的所有元素。例如:二值字母图像的仿真实验中，当M=3000时，高斯随机观测矩阵需要存储M×N=3 000×70×70=1.47×107个数据。而帐篷混沌观测矩阵只需要存储和传输一个帐篷序列表达式xn+1=a-(1+a)|xn|和2个参数初始值a=0.999,x0=0.01即可，大大节省了存储空间和传输带宽、降低了计算复杂度。当数据量更大时，帐篷混沌观测矩阵的优势会更加明显。

4 结 论

通过对二维图像信号的仿真实验表明:本文所设计的帐篷混沌观测矩阵能够以高概率重构信号,其重构性能不但优于目前常用的随机观测矩阵，而且克服了随机观测矩阵在不确定性、硬件实现、存储方面的缺陷。

虽然压缩感知理论具有广阔的应用前景，一经提出就受到了广泛关注，但其理论还不够完善。关于稀疏性、有限等距约束原则在实际中的验证是一个组合复杂度问题，极为复杂，寻求一种严密并且在实际中易于验证的准则是有必要的。

参考文献:

[1] Candès Emmanuel.Compressive sampling[C]∥Int’l Congress of Mathematics,Madrid,Spain,2006:1433-1452.

[2] Donoho D L.Compressed sensing[J].IEEE Trans on Info Theory,2006,52(4):1289-1306.

[3] Candès Emmanuel ,Wakin Michael.An introduction to compre-ssive sampling[J].IEEE Signal Processing Magazine,2008,25(2):21-30.

[4] Candès E J,Tao T.Near optimal signal recovery from random projections: Universal encoding strategies[J].IEEE Trans on Info Theory,2006 ,52(12):5406-5425.

[5] 戴琼海，付长军，季向阳.压缩感知研究[J].计算机学报,2011,34(3):425-434.

[6] Baraniuk R.A lecture on compressive sensing[J].IEEE Signal Processing Magazine,2007,24(4):118-121.

[7] Nabaee M,Labeau F.Restricted isometry property in quantized network coding of sparse messages[C]∥IEEE Global Communications Conference(GLOBECOM),Anaheim,CA,IEEE,2012:112-117.

[8] 罗松江，丘水生，骆开庆.混沌伪随机序列的复杂度的稳定性研究[J].物理学报，2009,58(9):6045-6049.

[9] 单 梁，强 浩，李 军，等.基于Tent映射的混沌优化算法[J].控制与决策，2005,20(2):179-182.

[10] 石光明，刘丹华，高大化，等.压缩感知理论及其研究进展[J].电子学报，2009，37(5):1070-1081.