何爱林，徐 慨，鲍 凯，郑士伟

（1海军工程大学电子工程学院，武汉 430033;2海军潜艇学院，山东青岛 266000;3 91917部队，北京 102400）

0 引言

双星TDOA/FDOA联合定位方式相对于三星、四星等多星定位而言减少了定位平台数量，降低了系统的实现难度和发射成本，且卫星的移动的速度很快，产生的多普勒频差大，有利于定位精度的提高。因此，对于天基无源定位系统来说，采用TDOA/FDOA定位方式是一种非常有吸引力的方案［1］。

文中提出利用地理信息系统提供高程辅助信息，且利用WGS-84切平面来代替椭球表面，在不损失定位精度的情况下对地面干扰源定位的方法。相比于文献［9］，文中提出的方法具有更高的定位精度;相比于文献［10］的数字地图，文中所采用的地理信息系统具有更高的精度，更能满足现代战争的精度打击需要。

1 模型的建立

根据电磁波在空间的传播规律，得到如下的TDOA和FDOA方程组:

其中:△r=c△t，△t为干扰信号到达两个卫星的时间差，c为光波的传播速度;△vr=－△fdλ，△fd为两颗卫星的多普勒频率差，λ为干扰信号的波长。采用WGS-84地球椭球模型，在地固坐标系中，直角坐标（x，y，z）与大地坐标（L，B，H）的关系如下:

其中:RN为当地卯酉圈曲率半径;e为地球的第一偏心率;H为高程;L、B为干扰源所处地的经度和纬度。将上式化简，则目标的位置还应满足地球表面方程:

这里，解由式（1）～式（3）联立的方程组即可求出目标的位置，但由于上述方程组是一个三元高次非线性方程组，不容易直接求得其解。针对上述方程组，解析算法拥有较高的运算效率但需要剔除模糊解，迭代法具有高数值稳定性但效率比解析法低。因此，文中采用利用解析算法快速粗定位和迭代法精定位相结合的定位方法。

1.1 粗定位算法

进行粗定位时，由于地面接收站及主星的星下点位置和地面干扰源同在两个卫星的覆盖范围内，将两个接收站和主星的经纬度分别输入地理信息系统获得各自的高程，取3个高程的平均值作为干扰源的高程H是合理的，采用半径为（R+H）（R为主星星下点的地球半径）的球面代替式（3）变为:

联立方程（1）、（2）、（4）组成的方程组进行粗定位:

将上述两式代入式（1）经过平方简化可得:

［3］提出的解析算法，最终化简整理得:

将r1看成已知数，可得到一个关于x，y，z的线性方程组:

直接解方程求得 X=A－1B，将所求解代入式（5），得到一个以r1为未知数的四次方程:

解式（10）得到r1的值并去除其模糊解后，求得目标的位置解，设为 u0= ［x'，y'，z'］T。

1.2 精定位算法

根据粗定位算法中算出的u0计算对应的大地坐标（L0，B0）及RN的值［4］。将（L0，B0）输入地理信息系统，查询得地面上同样经纬度点A0的高程H0，将A0（L0，B0，H0）转化为直角坐标 A0（x0，y0，z0）并将所求得的RN、H0代入式（3）得到一个在目标位置有较高精确度的椭球模型:

这里采用迭代法，该迭代法的思想如图1所示，过点A0作上述椭球的切平面，用下文将描述的解析算法得到定位点B1，将点B1的坐标投影到式（11）所示的椭球面上，得到点A1，再在该点处作切面，从而得到定位点B2和投影点A2，依次计算投影可得点可得到 B3、B4、B5… 等定位点和 A3、A4、A5… 等投影点，逐步逼近所求的干扰源定位点（即时差频差曲线与椭球的交点C）。对于上述的迭代法，要使迭代算法最终收敛，根据收敛性的要求，只要‖CAk‖ ＞‖CAk+1‖即可，而这一条件在通常条件下都会满足。

图1 迭代算法的迭代原理图

具体的迭代过程如下:

假设第k次迭代得到的目标位置为Bk（x（k），y（k），z（k）），则可以按照如下步骤得到第k+1次迭代计算所得到的目标位置，记为Bk+1（x（k+1），y（k+1），z（k+1））:

1）将前一次得到的目标直角坐标Bk（x（k），y（k），z（k））进行坐标变换，得到大地坐标 Bk（L（k），B（k），d H（k）），将其投影到椭球面上，得到投影位置的大地坐标为Ak（L（k），B（k），H0）（这里为了工程上程序计算的连续性，直接使用H0作为椭球的高程，不再输入地理信息系统），将 Ak（L（k），B（k），H0）转化为直角坐标Ak（x（k），y（k），z（k）），并计算该点 的 卯酉圈曲率半径R（k）N。

2）在Ak点作椭球的切面，求得其与定位曲线的交点即目标点Bk+1（x（k+1），y（k+1），z（k+1）），其过程如下:

由几何微分学可得过Ak点的椭球的切面方程:

同样将 r1看成已知数，解由式（7）、式（8）、式（12）联立得到的线性方程组并将结果代入式（5），可以得到一个以r1为未知数的四次方程:

解式（13）得到r1的值并去除其模糊解后，求得目标的位置解

3）重复步骤1）和步骤2），定义:

2 误差分析

分别对随机测量误差带来的定位误差和高程误差引起的定位误差进行分析。

2.1 随机测量误差带来的定位误差分析

在本双星TDOA/FDOA定位系统中，考虑的随机测量误差主要有时差测量误差d△t、多普勒频率差测量误差d△fd及高程测量误差d H0。文献［3］对测量误差带来的误差作了较为详尽的分析，但其目标位置的约束方程采用的是圆形地球模型，这会给定位带来较大的误差［5］。文中采用1.2中迭代计算得出的目标点Ak（x（k），y（k），z（k））处的椭球的切面方程作为约束方程:

对式（14）在目标点处微分并简化得:

对式（1）～式（2）分别在目标点处求微分得:

将式（15）～式（17）整理成矩阵形式:

假设时差测量误差、多普勒频差测量误差及高程测量误差之间各自互不相关，则它们引起的定位误差可以单独表示，即在地固坐标系中定位误差协方差矩阵为:

考虑到地面干扰源定位的精度指标都是水平定位误差，因此要将该协方差矩阵变换到目标视线坐标系中并取出其水平分量，即:

其中:Cge表示目标点处的坐标变换矩阵［6］。随机水平误差为:

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2.2 高程误差引起的定位误差进行分析

文献［7］对三星时差定位的高程误差引起的定位误差进行了分析，文中将其所用分析方法引入本节，单独对高程测量误差对定位精度的影响进行分析，讨论地理信息系统对本定位系统的影响。

为了研究问题的方便，在干扰源当地的视线坐标系内讨论该问题。假设经过坐标变换后，在视线坐标系内 的 坐 标 变 换 为［7］卫 星 的 速 度 分 别 变 换 为［8］目标辐射源的位置矢量记为u'= ［x'，y'，z'］T。将时差和频差曲面在辐射源处用其切面代替，重写方程（1）、（2）并将其在辐射源（0，0，0）处微分得:

当高程误差为d H0时，零高程的椭球的定位曲面可以用其切面z'=－d H0表示，将其代入式（22）、式（23）中，则有:

计算出x'和y'，并定义误差指标为:

3 定位误差仿真

在本节中分别对随机测量误差带来的定位误差和高程误差引起的定位误差进行仿真分析。

3.1 随机测量误差定位精度仿真

假设两颗卫星的高度为800 km，其位置的具体坐标分别为N），速度分别为（－4 988，－2 513，5 486），单位为 m/s，干扰源信号的载波频率为4 GHz。图2为在不同测量误差条件下得到的仿真图。

图2 定位水平误差的均方差等值线（单位:m）

图2（a）～图2（d）代表不同的测量精度的干扰源定位误差分布，图中两个*表示两颗卫星的星下点的位置，σ1、σ2、σ3代表时差、频差和高程测量的均方差。从图中可以看出，本定位系统的定位精度在星下点周围较大的范围内能达到1 km以下，相比于文献［9］提出的定位算法，在定位精度上有很大的提高，拥有着良好的定位性能。通过对比图2（a）与图2（b）、图2（a）与图2（c）、图2（b）与图2（d）可以看出，时差和频差的测量精度对系统的定位精度影响比高程精度的影响大。

3.2 高程误差定位精度仿真

仿真条件同3.1节，地理信息系统的高程误差能够达到5 m［10］，在本节中，假设定位系统的高程误差为10 m，具体分析高程误差对定位精度的影响。仿真图如图3所示。

图3 由高程误差（d H=10 m）引起的定位水平误差均方差等值线（单位:m）

从仿真图可以看出，当假设高程误差为10 m时，在星下点较大的范围内，定位误差在10 m以下。因此，借助地理信息系统的本定位系统可以忽略高程误差对系统定位精度的影响。

4 结论

文中对基于WGS-84椭球面切面的双星时差频差定位算法进行了研究，提出了利用椭球的切平面作为约束条件的综合定位方法，通过仿真证明了定位算法的定位高精度。且用到的地理信息系统是一个独立的系统，在实际的定位过程中，为了适应战场的快速定位要求，还需要我们进一步将它融合到定位系统中。

参考文献:

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［4］袁信，俞济祥，陈哲.导航系统［M］.北京:航空工业出版社，1993.

［5］郭福成，樊昀，周一宇，等.空间电子侦察定位原理［M］.北京:国防工业出版社，2012.

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