王宇谱 吕志平 陈正生 黄令勇

(信息工程大学地理空间信息学院，郑州 450052)

基于灰色模型与小波神经网络的卫星钟差预报方法*

王宇谱 吕志平 陈正生 黄令勇

(信息工程大学地理空间信息学院，郑州 450052)

提出一种基于灰色模型和小波神经网络相结合的卫星钟差预报方法。首先通过灰色模型对钟差进行拟合并确定钟差预报的灰色模型，然后根据拟合残差对小波神经网络进行建模，最后将两种模型对应的预报结果结合得到钟差预报值。使用IGS精密钟差进行实验，证明该方法的预报效果优于二次多项式模型和灰色模型，特别是对于ⅡR型铷钟和ⅡF型铷钟，其预报精度可以提高2倍以上。

卫星钟差预报;灰色模型;小波神经网络;惯性制导系统;组合预报模型

卫星导航系统中，钟差预报的精度直接决定了系统实时导航定位的性能［1］。研究表明，星载原子钟的频率总波动由多种不同的噪声线性叠加而成［2］，这使得建立精确的星载原子钟运行模型变得困难，也使得钟差的高精度预报变得困难。为此，建立了多种钟差预报模型［3－7］，其中最常用的为二次多项式模型和灰色模型(GM(1，1))。文献［8］将GM(1，1)模型用于钟差预报，但短期预报效果不佳［9］。本文在文献［10］的基础上，建立了一种基于GM(1，1)与小波神经网络(WNN)相结合的组合钟差预报方法。该方法既改善了GM(1，1)短期预报的效果，又避免了构造复杂的神经网络结构，并得到较两种常用钟差预报模型更好的预报结果。

1 算法原理

1.1 GM(1，1)模型

设 L(0)={l(0)(i)，i=1，2，…，n}为初始钟差值序列，l(0)累加一次得:

由最小二乘法，得:

1.2 小波神经网络［13－14］

假设有L组数据，每组数据由N个分量组成，将其表示为 T=(t(1)，…，t(j)，…，t(L))，t(j)∈RN;模型输出为一个P维向量，记为O=(o(1)，…，o(j)，…，o(L))，o(j)∈RP。则输入量经小波神经网络传播后输出为［14］:

式中，M为网络隐含层神经元的个数，h(·)为隐含层的小波基函数，tn(i)是输入数据中第n组数据的第i个分量值，N为每组输入数据的个数，wfi为连接输入层节点i和隐含层节点f的权值，wfj为连接隐含层节点f和输出节点j的权值，af、bf为隐含层节点f的伸缩、平移因子，on(k)为对应的神经网络输出值。

1.3 灰色模型与小波神经网络相结合的组合预报方法

组合预报方法的思路为:使用给定的钟差数据L(0)={l(0)(i)，i=1，2，…，n}对 GM(1，1)进行建模，然后利用该GM(1，1)模型拟合L(0)得到拟合钟差值L1，再用 L(0)减去 L1得到拟合误差 V，利用GM(1，1)预报后面的钟差值P1，同时根据拟合误差V确定适合其预报的小波神经网络模型并根据确定后的模型预报后续对应误差V1，最后将GM(1，1)得到的预报值P1与小波神经网络得到的预报值V1相加得到最终的预报钟差值。

2 算例与分析

使用2013-01-21～22 IGS提供的15 min采样率的精密钟差数据进行实验。该时间段内的GPS星载原子钟有6种类型:ⅡA铯钟、ⅡA铷钟、ⅡR铷钟、ⅡR-M铷钟、ⅡF铯钟和ⅡF铷钟，随机选取每种类型钟所对应的一颗卫星进行实验，本文选取的卫星有 PRN09、PRN32、PRN19、PRN15、PRN24 和PRN25。为分析所建模型(记为GMWN)的预报性能，同时使用二次多项式模型(QP模型)和GM(1，1)进行相应的钟差预报，对比各种模型的预报结果;以IGS精密钟差数据为参照数据，使用预报误差的最大值和最小值对比模型预报结果的稳定性，使用预报误差的平均值和均方根对比模型预报结果的精度。其中预报误差均方根的计算公式为:

式中errori为预报误差，^ti、ti为i时刻的IGS精密钟差值和钟差预报值，n为预报历元数。

方案一:使用21日前12 h(48历元)钟差数据对3种方法进行建模，预报该天接下来的12 h(48历元)的钟差，并对比6颗卫星使用3种方法时的预报效果，如图1和表1所示。考虑到篇幅所限，这里仅给出PRN24和PRN25(分别代表星载铯钟和星载铷钟)的钟差预报结果对比图，其余星载原子钟的预报结果在统计表中给出。方案二的情况类似。

方案二:使用21日前12 h(48历元)钟差数据对3种方法进行建模，预报接下来的24 h(96历元，21日后12 h和22日前12 h)的钟差，并对比6颗卫星使用3种方法时的预报效果，如图2和表2。

根据计算结果可以得出如下结论:

1)从两颗卫星的钟差预报结果图中可以明显看出，随着预报时间的增加，二次多项式模型的钟差预报误差不断变大，而其余两种模型的预报结果则相对稳定。

2)在两个预报方案中，对比星载铷钟(PRN15、19、25、32)和星载铯钟(PRN09、24)预报结果的均方根和平均值可知，铷钟的预报精度总体上要好于铯钟;而从表征预报结果稳定性的预报误差最大最小值可以看出，星载铷钟预报误差的最大最小值之差小于铯钟，说明铷钟的预报结果稳定性优于铯钟。因此，对于GPS系统的星载原子钟而言，铷钟的预报性能总体上要好于铯钟。而对比星载ⅡA铯钟和ⅡF铯钟预报结果的统计值可以看出，铯钟里面ⅡF铯钟在预报的稳定性和预报精度方面均好于ⅡA铯钟，这是由于载有铯钟的GPSⅡA卫星是系统早期发射的，由于长时间的运行和铯钟本身的时频特性使得该类型星钟的预报性能变差;而后来发射的ⅡF铯钟预报性能则相对较好。

表2 24 h的预报结果统计(单位:ns)Tab.2 The statistics of prediction result in 24 h(unit:ns)

3)对比两种方案中6颗卫星分别使用3种方法的预报结果统计数据可知，本文方法预报结果的精度优于两种常用模型，特别是对于ⅡR铷钟和ⅡF铷钟。在预报结果稳定性方面，相对于铷钟(PRN15、19、25、32)而言，本文方法稳定性最好;而对于铯钟，预报误差的最大最小值之差分别为:方案一、二中的 PRN09 星，QP 模型为 66.704、185.669 ns，GM(1，1)模型为 11.551、15.402 ns，GMWN 为14.908、17.773 ns;PRN24 星，QP 模型为 15.416、33.074 ns，GM(1，1)模型为 2.820、12.040 ns，GMWN 为3.090、12.721 ns。可以看出，在铯钟预报稳定上，本文方法与GM(1，1)相当，优于二次多项式模型。

4)由于星载原子钟自身复杂的时频特性和极易受外界环境影响的特点，通常使用单一的预报模型来进行钟差预报有一定的局限性，而组合模型一般情况下可以改善单一模型的不足。

3 结语

基于灰色模型与小波神经网络相结合的钟差预报方法，既充分利用了灰色模型和小波神经网络的优点，又弥补了灰色模型的不足，同时避免了构造复杂的神经网络结构。实验结果证明，本文所建模型优于两种常用模型。

需要说明的是，钟差预报模型的预报性能还与星载钟的类型有关。因此，针对不同类型的原子钟建立相应的预报性能更优的模型是下一步需要研究的问题。

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A METHOD OF SATELLITE CLOCK BIAS PREDICTION BASED ON GRAY MODEL AND WAVELET NEURAL NETWORK

Wang Yupu，Lü Zhiping，Chen Zhengsheng and Huang Lingyong
(Institute of Geo-Spatial Information，Information Engineering University，Zhengzhou 450052)

A new prediction method based on the combination of gray system model and wavelet neural network is proposed.Firstly，fitting given satellite clock bias values with gray model，and determining parameters of gray model with the values.Then，establishing model of wavelet neural network with fitting residuals.Finally，combining the prediction results obtained from the two models mentioned above to get prediction results.The results of prediction tests using the precise satellite clock bias data from IGS show that the method can get better satellite clock bias prediction results，compared to the quadratic polynomial model and the grey model.Especially for the rubidium clock ofⅡR type and ⅡF，the prediction precision can be provided with two times or more.

satellite clock bias prediction;gray model;wavelet neural network;Inertial Guidance System(IGS);combination prediction model

P228.41

A

1671-5942(2014)03-0155-05

2013-08-22

国家自然科学基金项目(41274015);国家863计划项目(2013AA122501)。

王宇谱，男，1988年生，硕士研究生，主要研究方向为测量数据处理方法与理论。E－mail:987834660@qq.com。