李明峰 欧江霞 王永明 解 晨 王 春

1)南京工业大学地球空间信息研究中心，南京 210009

2)武汉大学测绘学院，武汉 430079

基于改进小波阈值去噪法的变形预测研究*

李明峰1)欧江霞1)王永明2)解 晨1)王 春1)

1)南京工业大学地球空间信息研究中心，南京 210009

2)武汉大学测绘学院，武汉 430079

针对传统小波阈值去噪算法的不足，根据变形监测数据特点及噪声在小波变换各尺度上的传播特性，提出新的门限阈值估计方法与阈值处理函数，并应用于建筑物变形观测数据时间序列建模。算例表明，改进后算法的去噪效果及预测值精度均优于常规方法。

小波阈值去噪;阈值函数;小波变换;时间序列;变形预测

变形预测通常可采用时间序列［1］、线性回归［2］、灰色系统［3］、BP 神经网络［4］等数学方法，在建立预测模型之前虽可通过稳健估计［5］、假设检验等方法剔除测量粗差，但未顾及数据采集过程中所受的噪声干扰，模型可信度较低。小波阈值去噪在信号处理领域的优越性可较好地弥补这一缺陷。小波阈值去噪的效果很大程度上取决于门限阈值及阈值处理函数的选取，常用的固定阈值随着小波分解尺度的增加易将有用信号去除，造成信号丢失;软阈值函数［6－7］处理后的估计小波系数与含噪小波系数之间存在恒定偏差;硬阈值函数［6－7］则不具备连续性。本文根据变形监测数据的特点，提出与噪声传播特性相一致的新的门限阈值估计方法，针对软阈值函数及硬阈值函数的不足构建新阈值处理函数，并将改进后的小波阈值去噪法应用于变形预测建模过程中。

1 小波阈值去噪原理与方法

信号在小波域内的能量主要集中在有限的系数中，而噪声能量分布于整个小波域内。经小波变换后，信号的小波系数大于噪声的小波系数，可通过设定相应的门限阈值，将小于该阈值的小波系数舍去，进而进行信号重构，达到去噪的目的。

1.1 小波变换

设φ(t)为平方可积函数，即φ(t)∈L2(R)，若其傅里叶变换(ω)满足:

则称φ(t)为基本小波。常用为基本小波函数有Haar、Daubechies(dbN)、Mexican Hat(mexh)、Morlet及Meyer等。设长度为N的观测信号为:

式中，s(t)为原始信号，n(t)为服从N(0，σ2)的高斯白噪声。对f(t)连续作J次小波变换，可得小波系数 ωj，k(j=1，…，J，k=1，…，N)［8］:

1.2 阈值及阈值函数

固定阈值按经验可取［6－7］:

固定阈值可能将有用高频信号去除。因此，赵瑞珍［9］、任超［10］等依据噪声在小波变换各尺度上的传播特性，对固定阈值估计方法进行了改进(称ZR法)，但未顾及变形监测数据受噪声干扰相对较小的特点，易造成信号失真。本文提出新的门限阈值估计公式:

由式(6)可知，新门限阈值估计方法降低了首层门限阈值，且与噪声在小波变换各尺度上的传播特性相一致，即随着分解尺度j的增加而减小。因此，新的门限阈值降低了有用高频系数被舍去的风险。

传统的阈值处理方法有硬阈值法和软阈值法［6－7］。软阈值函数的估计小波系数与含噪小波系数之间存在恒定偏差，硬阈值函数在定义域上的不连续会导致间断点。故构建新的阈值函数:

由以上分析可知，式(8)的渐近线为y=x，即新的阈值函数是以=ωj，k为渐近线。因此，新阈值函数既克服了硬阈值函数的不连续性，又减小了软阈值函数估计小波系数与含噪小波系数之间的恒定偏差。

2 算例分析

以某建筑物沉降监测点25期监测数据为例，其监测频率为每天一次。对前20期数据(表1)进行小波阈值去噪处理，建立时间序列模型［11－12］，并预测未来5期的高程值。

表1 用于建模的实测数据Tab.1 Measurement data used for model establishment

采用db2小波对原始数据进行2层小波分解。表2为经4种小波阈值处理后的信噪比和均方差。对比表2中的信噪比及均方差可知，改进法的信噪比最高，均方差最小，具有更好的去噪效果。

表2 小波阈值去噪信噪比与均方差对比Tab.2 Comparison of SNR and MSE among four kinds of wavelet thresholding

图1中，软阈值法由于舍去了较多有用的信号，造成信号失真，数据曲线过于平滑;硬阈值法与ZR法的处理结果反映了原始数据的基本特征，但在观测期数18～20处其数据变化呈上升趋势，与原始数据变化规律不符;改进法的处理结果曲线比原始数据光滑，且与原始数据的变化规律相一致，去噪效果明显优于其他方法。

令{x1}、{x2}、{x3}、{x4}分别代表由软阈值法、硬阈值法、ZR法及改进法处理过的数据序列，分别建立时序模型。预测方程如下:

利用式(11)预测监测点未来5期的高程值，如表3所示。由表3可知，改进法时序模型最大预测误差的绝对值及其绝对值的平均值最小，预测精度最高，而其他模型的预测值波动比较大、精度较低。同时，预测精度与小波阈值的去噪效果相一致，即数据序列的去噪效果越好，其建立的预测模型可信度越高，模型预测值越精确，在一定程度上弥补了其精度随预测步数增加而降低的缺陷。

图1 去噪效果对比Fig.1 Comparison of de-noised effects of four kinds of wavelet thresholding

步数 实测值/m 软阈值时序模型 硬阈值时序模型 ZR 55 75 －0.61 10.455 67 －0.54 2 10.455 06 10.454 99 －0.07 10.454 93 0.13 10.454 97 －0.09 10.455 21 －0.15 3 10.454 98 10.454 16 0.82 10.454 41 0.57 10.454 43 0.55 10.454 95 0.03 4 10.454 65 10.454 57 0.08 10.454 97 －0.32 10.454 94 －0.29 10.454 97 －0.32 5 10.454 78 10.456 06 －1.28 10.455 85 －1.07 10.455 88 －1.10 10.455 02 －0.24误差指标/mm/mm 1 10.455 14 10.455 84 －0.70 10.455 75 －0.61 10.4法时序模型 改进法时序模型预测值/m 误差/mm 预测值/m 误差/mm 预测值/m 误差/mm 预测值/m 误差最大绝对值 1.28 1.07 1.10 0.54平均绝对值0.59 0.54 0.53 0.26

由图2可知，软阈值时序模型、硬阈值时序模型、ZR法时序模型的预测值与实测值差距很大，而改进法时序模型在较好地去除观测噪声的情况下，得到更接近真实值的数据，具有较高的预测精度。

图2 各模型预测值与实测值对比Fig.2 Comparison of predicted values and measured values

3 结语

变形监测数据不可避免地含有观测噪声，利用小波阈值去噪法建立数据分析模型，去除噪声影响，可提高预测准确度。顾及门限阈值及阈值函数选取对去噪效果的影响，并根据监测数据及噪声在小波变换各尺度上的传播特性，提出了新的门限阈值估计方法与阈值处理函数，通过对比现有小波阈值算法信噪比与均方差，验证了所提方法的优越性。

依据经验及信噪比确定的小波分解层数会对去噪效果产生不利影响，而现有的小波系数白噪声检验仅适合于大样本数据，因此，利用小波阈值去噪处理变形监测小样本数据时，其最优分解层数的确定有待进一步研究。

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STUDY ON DEFORMATION PREDICTION BASED ON IMPROVED WAVELET THRESHOLD DE-NOISING METHOD

Li Mingfeng1)，Ou Jiangxia1)，Wang Yongming2)，Xie Chen1)and Wang Chun1)
1)Institute of Geo-Spatial Information，Nanjing University of Technology，Nanjing 210009
2)School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan430079

According to the characteristics of deformation data and noise propagation on wavelet transforming in various scales，a new threshold estimation method and threshold processing function are proposed，and applied to establishment of time series model for deformation observation data.The advantage of improved wavelet de-noising method is demonstrated，and the precision of prediction value is higher than that with the conventional methods.

wavelet threshold de-noising;threshold function;wavelet transform;time series;deformation prediction

P207

A

1671-5942(2014)03-0068-04

2013-09-09

国家自然科学基金项目(41274009);江苏省研究生科研创新计划项目(CXLX13_422);南京市科技计划项目(201101069);江苏省测绘科研项目(JSCHKY201108)。

李明峰，男，1964年生，教授，博士生导师，主要研究方向为变形监测与灾害预测理论与方法，E－mail:njuter@163.com。