华腾飞

函数的解析式是研究函数性质的基础，其求法也综合了代数、三角、几何的相关知识，以及相应的数学思想方法.在给定的条件下求函数的解析式f(x)是高中数学中经常涉及的内容，形式多样，没有一定的程序可循，综合性比较强，求解起来有相当大的难度，但是只要我们认真仔细地去探索，开拓思路，还是可以找出规律，探索出一些有效之法.下面向大家介绍求函数解析式的几种方法，希望大家能够从中得到有益的启示.

一、定义法

适用于给出满足函数定义的特殊情形，求函数的解析式.

例1设f (x)为定义在实数集R上的偶函数，当x≤-1时，y=f(x)的图像是经过点(-2, 0）斜率为1的射线.又在y=f(x)的图像中有一部分是顶点在(0, 2)，且过点(-1, 1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式（图像略）.

解析当x≤-1时，设f(x)=x+b，则由0=-2+b，得b=2，从而f (x)=x+2；

当-1

当x≥1时，f(x)=-x+2.

∴f (x)=x+2(x≤-1)

2-x2(-1

-x+2(x≥1)

注意：求解析式时，要注意自变量的定义域.

二、换元法

适用于已知复合函数的解析式，求原函数的解析式.

例2已知f(x+1x)=x3+1x3，求f(x)的解析式.

解析f(x+1x)=(x+1x)(x2+1x2-1)=(x+1x)［(x+1x)2-3］=(x+1x)3-3(x+1x).

设y=x+1x的值域为：{y|y≥2或y≤-2}，故f (x)=x3-3x(x≥2或x≤-2).

注意：求解析式时，一定要注意复合函数中内函数的取值范围，从而限定f (x)的定义域.

例3已知f (cosx)=x2(-π

解析设cosx=u，且u∈(-1, 1)，由-π

注意用换元法求解析式时，还要注意换元前后自变量的取值范围要相同.

三、消元法

适用于已知条件含有关于x与1x，x与-x的简单的函数方程，通过恰当的构造进行消元.

例4一种函数f (x)对内任意实数x有af (x)+bf (-x)=cx(| a | ≠ | b |)，求函数f (x)的解析式.

解析将原方程中x换成-x，得af (-x)+bf (x)=-cx，与原方程联立消去f (-x)，得f (x)=cxa-b.

例5对所有实数x，满足条件2f (x)+f (1-x)=x2，求f (x)的解析式.

解析将原方程中的变量x换成1-x，则有：2f (1-x)+f (x)=(1-x)2，与原方程联立消去f (1-x)，得f (x)= 13(x2+2x-1).

注意消元法关键是构造与已知方程含有同样未知元的方程，通过解方程组进行消元.

四、配凑法

适用于通过适当地配凑，便于利用公式求出解析式的情形.

例6已知f (x+1x)=x2+x+1x2，求f (x).

解析∵f (x+1x)=x2+x+1x2=x+1x2+1=(x+1)2-x(x+1)x2+1=(x+1x)2-x+1x+1，

∴f (x)=x2-x+1.

注意配凑法运用的关键是要配凑出便于利用公式的式子，从而灵活地运用公式快速求解.

五、待定系数法

适用于已知函数的图像，确定函数的解析式；或已知函数的类型及其满足的方程时，常用待定系数法.

例7已知f (x)为二次函数，且满足f (2x+1)+f (2x-1)=16x2-4x+6，求f (x).

解析由题设f (x)=ax2+bx+c(a≠0)，∴f (2x+1)=a(4x2+4x+1)+b(2x+1)+c，f (2x-1)=a(4x2-4x+1)+b(2x-1)+c；∴f (2x+1)+f (2x-1)=8ax2+4bx+2a+2c.

由已知得：8ax2+4bx+2a+2c=16x2-4x+6.

∴8a=16

4b=-4

2a+2c=6解得a=2

b=-1

c=1

从而有：f (x)=x2-x+1.

六、赋值法

此法适用于已知函数包含的字母较复杂的情形，通过赋值可以使得求解过程简捷、方便.

例8设f (x)是定义在实数集R上的函数，满足f (0)=1，且对任意实数a、b，有f (a-b)=f (a)-b(2a-b+1)，求函数f (x).

解析∵f (a-b)=f (a)-b(2a-b+1)，a、b∈R，为此可令a=b=x，得f (0)=f(x)-x(2x-x+1)

又f (0)=1，∴函数f (x)=x2+x+1.

注意采用赋值法时，一定要使赋值后的运算过程简单、方便，便于快速、简捷地求出解析式.

七、代点法

适用于求某函数关于某元素对称的函数解析式.

例9已知f (x)=loga(x-1)，当且仅当点(x0，y0)在f (x)图像上时，点(2x0, 2y0)在y=g (x)图像上时，求g(x)的解析式.

解析由点(x0, y0)在y=loga(x-1)的图像上，∴y0=loga(x0-1).

令2x0=u，2y0=v，则x0=u2，y0=v2；

∴v2=loga(u2-1)，即v=2loga(u2-1)，

∵(2x0, 2y0)在y=g(x)的图像上，∴(u, v) 在y=g(x)的图像上，故g(x)=2loga(x2-1).

注意抓住所求函数图像上的点与已知函数图像上的点的关系（有时用中点坐标公式，或用定比分点坐标公式），求其解析式.

八、代替法

适用于所给的函数关系式中自变量含有互为相反或互为倒数关系的情形.

例10定义在区间(-1, 1)内的函数f (x)满足2f (x)-f (-x)=lg(x+1)，求f (x).

解析用-x代替关系式中的x得：2f (-x)-f (x)=lg(-x+1).

解方程组2f (x)-f (-x)=lg(x+1)

2f (-x)-f (x)=lg(-x+1)

得f (x)=13lg(1+x-x2-x3) (-1

九、迭代法

此法适用于求复合函数的解析式

例11已知f {f ［f (x)］}=27x+13，且f (x)是一次函数，求f (x).

解析设f (x)=ax+b，则f ［f (x)］=a2x+ab+b，f {f ［f (x)］}=a3x+a2b+ab+b.

由题意知：27x+13=a3x+a2b+ab+b，则a=3，b=1，故f (x)=3x+1.

十、参数法

适用于已知函数解析式中含有三角函数的情形，通过参数变换使得求解过程简单易行.

例12已 知f (1-cosx)=sin2x，求f (x).

解析令v=1-cosx

u=sin2x

消去x得u+(v-1)2=1，即u=2v-v2.

∵-1≤cosx≤1，∴0≤v≤2，

∴f (x)=2x-x2(0≤x≤2).

十一、奇偶性法

适用于已知函数的奇偶性且在原点一侧某一区间的函数解析式，求其在关于原点对称区间的函数解析式.

例13已知f (x)为奇函数，且当x>0时f (x)=x(1-x)，求当x<0时，函数f (x)的表达式.

解析设x<0，则-x>0，

∴f (-x)=-x(1+x).

又因为f (x)为奇函数，

∴-f (x)=-x(1+x)，从而有f (x)=x(1+x).

例14设f (x)是R上的奇函数，且当x∈［0,+∞）时函数为f (x)=x(1+lgx)，当x∈(-∞, 0)时，求f (x)的解析式.

解析由于f (x)是奇函数，当x<0时，-x>0，f (-x)=-x［1+lg(-x)］，

∴f (x)=-f (-x)=x［1+lg(-x)］

故f (x)=x(1+lgx) (x ≥ 0)

x［1+lg(-x)］ (x < 0)

注意利用对称性把未知区间转化为已知区间，进而在利用已知条件是解题的关键.

十二、周期法

适用于周期函数的解析式求解.

例15设函数f (x)为奇函数，且在定义域R上，总有f (x)=-f(x+2)，又当-2≤x≤-1时，f (x)=x2+2x，求：⑴当2≤x≤3时，函数f (x)的解析式；⑵当5≤x≤6时，函数f (x)的解析式.

解析由f (x+2)=-f(x)，得f(x+4)=f(x)，故f (x)为周期函数.

(1)∵2≤x≤3，∴-2≤x-4≤-1；又-2≤x≤-1时，f (x)=x2+2x，∴f (x-4)=(x-4)2+2(x-4)，故f (x)=(x-4)2+2(x-4).

(2)∵5≤x≤6，∴-6≤-x≤-5，-2≤4-x≤-1，又-2≤x≤-1时，f (x)=x2+2x，∴f (4-x)=(4-x)2+2(4-x).而f (4-x)=-f (x-4)=-f (x)，故f (x) =-(x-4)2+2(x-4).

注意判断函数的周期性是解题的关键，把所求区间如何利用周期性与奇偶性转化到已知区间，进而利用已知区间的函数解析式求解.

十三、解方程组法

此法适用于已知解析式以方程的形式出现求解析式的情形.

例16已知f (x)+f(x-1x)=1+x(x ≠ 0,1) ①，求f(x).

解析用x-1x代替①中的x整理得：

f (x-1x)+f (11-x)=2x-1x ②

再用11-x代替①中的x整理得：

f (11-x)+f (x)=2-x1-x ③

联立①②③并解之得：f (x)=x3-x2-12x(x-1).

十四、反函数法

适用于涉及反函数的解析式的求解问题.

例17假设有三个函数，第一个函数是φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数的图像关于x+y=0对称，求第三个函数的解析式.

解析设(x，y)为第三个函数上的一点，∴（-y, -x）为第二个函数图像上的点，而（-x, -y）为y=φ(x)图像上的点，∴-y=φ(-x)为第二个函数上的一点，∴-x=φ-1(-y), 故第三个函数的解析式为y=-φ(-x).

十五、递推法

适用于函数关系比较复杂，需要总结规律的函数解析式的求解.

例18设f (x)定义在N上的函数，满足f (1)=1，对任意自然数a、b，有f (a)+f (b)=f (a+b)-ab，求f (x).

解析∵f (a)+f (b)=f (a+b)-ab，ab∈N，∴令a=x，b=1，得f (x)+f (1)=f (x+1)-x，又f (1)=1，故f (x+1)-f (x)=x+1①

在①令x=1, 2, 3,…, n-1得

f (2)-f (1)=2

f (3)-f (2)=3

……

f (n)-f (n-1)=n

由这n个式子相加得：

f (n)-f (1)=12(n+2)(n-1)

∴f (n)=12(n+2)(n-1)+1，

∴所求的函数解析式为

f (x)=12x2+12x( x∈N).

十六、图像变换法

适用于给出图像的变化过程，确定图像所对应的函数解析式.

例19将函数y=2x的图像先向左平行移动1个单位，再向下平行移动1个单位，最后再做关于直线y=x对称的图像，求所得图像的函数解析式.

解析函数y=2x图像向左平移一个单位函数y=2x+1图像向下平移1个单位函数y=2x+1-1图像.求y=2x+1-1的反函数可得：y=log2(x+1)-1.

故所求函数的解析式为f (x)=log2(x+1)-1(x >-1).

例20若函数y=sinx的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的13，然后将图像沿x轴向右平移π6个单位，把所得图像纵坐标伸长为原来的2倍，求所得新图像的函数解析式.

解析函数y=sinx图像

横坐标缩小为原来的13y=sin3x图像

沿x轴右移π6y=sin3(x-π6)图像

纵坐标伸长为原来的2倍y=2sin(3x-π2)=-2cos3x图像，故y =-2cos3x为所求的解析式.

注意这里体现了函数图像的平移、对称、翻转规律的合理运用.(收稿日期：2013-12-10)

例13已知f (x)为奇函数，且当x>0时f (x)=x(1-x)，求当x<0时，函数f (x)的表达式.

解析设x<0，则-x>0，

∴f (-x)=-x(1+x).

又因为f (x)为奇函数，

∴-f (x)=-x(1+x)，从而有f (x)=x(1+x).

例14设f (x)是R上的奇函数，且当x∈［0,+∞）时函数为f (x)=x(1+lgx)，当x∈(-∞, 0)时，求f (x)的解析式.

解析由于f (x)是奇函数，当x<0时，-x>0，f (-x)=-x［1+lg(-x)］，

∴f (x)=-f (-x)=x［1+lg(-x)］

故f (x)=x(1+lgx) (x ≥ 0)

x［1+lg(-x)］ (x < 0)

注意利用对称性把未知区间转化为已知区间，进而在利用已知条件是解题的关键.

十二、周期法

适用于周期函数的解析式求解.

例15设函数f (x)为奇函数，且在定义域R上，总有f (x)=-f(x+2)，又当-2≤x≤-1时，f (x)=x2+2x，求：⑴当2≤x≤3时，函数f (x)的解析式；⑵当5≤x≤6时，函数f (x)的解析式.

解析由f (x+2)=-f(x)，得f(x+4)=f(x)，故f (x)为周期函数.

(1)∵2≤x≤3，∴-2≤x-4≤-1；又-2≤x≤-1时，f (x)=x2+2x，∴f (x-4)=(x-4)2+2(x-4)，故f (x)=(x-4)2+2(x-4).

(2)∵5≤x≤6，∴-6≤-x≤-5，-2≤4-x≤-1，又-2≤x≤-1时，f (x)=x2+2x，∴f (4-x)=(4-x)2+2(4-x).而f (4-x)=-f (x-4)=-f (x)，故f (x) =-(x-4)2+2(x-4).

注意判断函数的周期性是解题的关键，把所求区间如何利用周期性与奇偶性转化到已知区间，进而利用已知区间的函数解析式求解.

十三、解方程组法

此法适用于已知解析式以方程的形式出现求解析式的情形.

例16已知f (x)+f(x-1x)=1+x(x ≠ 0,1) ①，求f(x).

解析用x-1x代替①中的x整理得：

f (x-1x)+f (11-x)=2x-1x ②

再用11-x代替①中的x整理得：

f (11-x)+f (x)=2-x1-x ③

联立①②③并解之得：f (x)=x3-x2-12x(x-1).

十四、反函数法

适用于涉及反函数的解析式的求解问题.

例17假设有三个函数，第一个函数是φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数的图像关于x+y=0对称，求第三个函数的解析式.

解析设(x，y)为第三个函数上的一点，∴（-y, -x）为第二个函数图像上的点，而（-x, -y）为y=φ(x)图像上的点，∴-y=φ(-x)为第二个函数上的一点，∴-x=φ-1(-y), 故第三个函数的解析式为y=-φ(-x).

十五、递推法

适用于函数关系比较复杂，需要总结规律的函数解析式的求解.

例18设f (x)定义在N上的函数，满足f (1)=1，对任意自然数a、b，有f (a)+f (b)=f (a+b)-ab，求f (x).

解析∵f (a)+f (b)=f (a+b)-ab，ab∈N，∴令a=x，b=1，得f (x)+f (1)=f (x+1)-x，又f (1)=1，故f (x+1)-f (x)=x+1①

在①令x=1, 2, 3,…, n-1得

f (2)-f (1)=2

f (3)-f (2)=3

……

f (n)-f (n-1)=n

由这n个式子相加得：

f (n)-f (1)=12(n+2)(n-1)

∴f (n)=12(n+2)(n-1)+1，

∴所求的函数解析式为

f (x)=12x2+12x( x∈N).

十六、图像变换法

适用于给出图像的变化过程，确定图像所对应的函数解析式.

例19将函数y=2x的图像先向左平行移动1个单位，再向下平行移动1个单位，最后再做关于直线y=x对称的图像，求所得图像的函数解析式.

解析函数y=2x图像向左平移一个单位函数y=2x+1图像向下平移1个单位函数y=2x+1-1图像.求y=2x+1-1的反函数可得：y=log2(x+1)-1.

故所求函数的解析式为f (x)=log2(x+1)-1(x >-1).

例20若函数y=sinx的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的13，然后将图像沿x轴向右平移π6个单位，把所得图像纵坐标伸长为原来的2倍，求所得新图像的函数解析式.

解析函数y=sinx图像

横坐标缩小为原来的13y=sin3x图像

沿x轴右移π6y=sin3(x-π6)图像

纵坐标伸长为原来的2倍y=2sin(3x-π2)=-2cos3x图像，故y =-2cos3x为所求的解析式.

注意这里体现了函数图像的平移、对称、翻转规律的合理运用.(收稿日期：2013-12-10)

例13已知f (x)为奇函数，且当x>0时f (x)=x(1-x)，求当x<0时，函数f (x)的表达式.

解析设x<0，则-x>0，

∴f (-x)=-x(1+x).

又因为f (x)为奇函数，

∴-f (x)=-x(1+x)，从而有f (x)=x(1+x).

例14设f (x)是R上的奇函数，且当x∈［0,+∞）时函数为f (x)=x(1+lgx)，当x∈(-∞, 0)时，求f (x)的解析式.

解析由于f (x)是奇函数，当x<0时，-x>0，f (-x)=-x［1+lg(-x)］，

∴f (x)=-f (-x)=x［1+lg(-x)］

故f (x)=x(1+lgx) (x ≥ 0)

x［1+lg(-x)］ (x < 0)

注意利用对称性把未知区间转化为已知区间，进而在利用已知条件是解题的关键.

十二、周期法

适用于周期函数的解析式求解.

例15设函数f (x)为奇函数，且在定义域R上，总有f (x)=-f(x+2)，又当-2≤x≤-1时，f (x)=x2+2x，求：⑴当2≤x≤3时，函数f (x)的解析式；⑵当5≤x≤6时，函数f (x)的解析式.

解析由f (x+2)=-f(x)，得f(x+4)=f(x)，故f (x)为周期函数.

(1)∵2≤x≤3，∴-2≤x-4≤-1；又-2≤x≤-1时，f (x)=x2+2x，∴f (x-4)=(x-4)2+2(x-4)，故f (x)=(x-4)2+2(x-4).

(2)∵5≤x≤6，∴-6≤-x≤-5，-2≤4-x≤-1，又-2≤x≤-1时，f (x)=x2+2x，∴f (4-x)=(4-x)2+2(4-x).而f (4-x)=-f (x-4)=-f (x)，故f (x) =-(x-4)2+2(x-4).

注意判断函数的周期性是解题的关键，把所求区间如何利用周期性与奇偶性转化到已知区间，进而利用已知区间的函数解析式求解.

十三、解方程组法

此法适用于已知解析式以方程的形式出现求解析式的情形.

例16已知f (x)+f(x-1x)=1+x(x ≠ 0,1) ①，求f(x).

解析用x-1x代替①中的x整理得：

f (x-1x)+f (11-x)=2x-1x ②

再用11-x代替①中的x整理得：

f (11-x)+f (x)=2-x1-x ③

联立①②③并解之得：f (x)=x3-x2-12x(x-1).

十四、反函数法

适用于涉及反函数的解析式的求解问题.

例17假设有三个函数，第一个函数是φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数的图像关于x+y=0对称，求第三个函数的解析式.

解析设(x，y)为第三个函数上的一点，∴（-y, -x）为第二个函数图像上的点，而（-x, -y）为y=φ(x)图像上的点，∴-y=φ(-x)为第二个函数上的一点，∴-x=φ-1(-y), 故第三个函数的解析式为y=-φ(-x).

十五、递推法

适用于函数关系比较复杂，需要总结规律的函数解析式的求解.

例18设f (x)定义在N上的函数，满足f (1)=1，对任意自然数a、b，有f (a)+f (b)=f (a+b)-ab，求f (x).

解析∵f (a)+f (b)=f (a+b)-ab，ab∈N，∴令a=x，b=1，得f (x)+f (1)=f (x+1)-x，又f (1)=1，故f (x+1)-f (x)=x+1①

在①令x=1, 2, 3,…, n-1得

f (2)-f (1)=2

f (3)-f (2)=3

……

f (n)-f (n-1)=n

由这n个式子相加得：

f (n)-f (1)=12(n+2)(n-1)

∴f (n)=12(n+2)(n-1)+1，

∴所求的函数解析式为

f (x)=12x2+12x( x∈N).

十六、图像变换法

适用于给出图像的变化过程，确定图像所对应的函数解析式.

例19将函数y=2x的图像先向左平行移动1个单位，再向下平行移动1个单位，最后再做关于直线y=x对称的图像，求所得图像的函数解析式.

解析函数y=2x图像向左平移一个单位函数y=2x+1图像向下平移1个单位函数y=2x+1-1图像.求y=2x+1-1的反函数可得：y=log2(x+1)-1.

故所求函数的解析式为f (x)=log2(x+1)-1(x >-1).

例20若函数y=sinx的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的13，然后将图像沿x轴向右平移π6个单位，把所得图像纵坐标伸长为原来的2倍，求所得新图像的函数解析式.

解析函数y=sinx图像

横坐标缩小为原来的13y=sin3x图像

沿x轴右移π6y=sin3(x-π6)图像

纵坐标伸长为原来的2倍y=2sin(3x-π2)=-2cos3x图像，故y =-2cos3x为所求的解析式.

注意这里体现了函数图像的平移、对称、翻转规律的合理运用.(收稿日期：2013-12-10)