李岩+甄学霞+李兴

影响事物的发展的因素有很多，有一句话“一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后在美国德克萨斯引起一场龙卷风.”说的就是这个道理.同样，在物理学中，这种相互制约的现象也比比皆是.尤其是在有些物理量之间存在着某种封闭的循环制约关系.打个比方，在一个三口之家中，爸爸管着儿子，儿子管着妈妈，妈妈又管着爸爸，彼此约束又相互制衡，可谓是牵一发而动全身.在教学实践中笔者发现，学生对于这类物理问题的解决往往束手无策.现举几例加以说明.

一、汽车以恒定功率启动问题

汽车以恒定功率启动时，速度不断增大，由于功率保持不变，故牵引力不断减小，加速度也不断减小，只要加速度还未等于零，速度就继续增大，进而牵引力还要继续减小…这是一种典型的循环制约的动态关系，直到牵引力等于阻力时，加速度等于零，汽车达到最大速度这一稳定状态为止.

例1（2011年广东六校联考）汽车以恒定功率在平直公路上匀速行驶，在t1时刻司机减小了油门，使汽车的功率立即减小了一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻汽车又开始做匀速直线运动（设整个过程中汽车所受的阻力不变），则在t1-t2时间内().

A.汽车的加速度逐渐减小

B.汽车的加速度逐渐增大

C.汽车的速度逐渐减小

D.汽车的速度逐渐增大

解析原来汽车匀速行驶时，牵引力等于阻力，t1时刻油门减小，功率瞬间变为原来的一半，而此时速度尚未来得及发生变化，由公式P=Fv知，牵引力瞬间也减为原来的一半，由于阻力保持不变，所以汽车立刻开始减速.又由于此后功率保持不变，速度减小，故牵引力又从最初的一半开始增加，根据f-F=ma知减速时的加速度减小，当牵引力再次等于阻力时，汽车以更小速度匀速运动.故本题答案选A、C.

二、带电体在匀强磁场中的运动

当一个带电体在匀强磁场中运动时，速度的变化会影响到洛伦兹力的大小，洛伦兹力的大小变化会影响到压力的变化，而压力的变化进而会影响到摩擦力的变化，从而影响带电体的加速度变化，而加速度的变化最终又会影响到速度的变化；这样的一种循环式的相互作用最终要达到一种什么样的运动状态呢？请看例 .

图1例2如图1所示，在一绝缘、粗糙且足够长的水平管道中有一带电量为+q、质量为m的带电球体，管道半径略大于球体半径，整个管道处于磁感应强度为B的水平匀强磁场中，磁感应强度方向与管道垂直，现给带电体一个水平速度v0，则在整个运动过程中，带电球体克服摩擦力所做的功可能为（）.

A.0B.12m(mgqB)2

C.12mv20D.12m［v20-(mgqB)2］

解析结合左手定则对小球进行受力分析可知：当v0刚好满足：qv0B=mg①时，小球不受滑动摩擦力作用一直做匀速直线运动，故摩擦力做功为零；当qv0Bmg时，小球受到向下的压力，满足方程： N+mg=qvB ④，f与v反向并结合②③④式可得：当v↓时，N↓,f↓,a↓,v↓…… 最终当N=0时，f=0，a=0，小球先做加速度越来越小的变减速运动，最终匀速运动，匀速时满足：qv1B=mg ⑤，由动能定理还可得克服摩擦力所做的功为：Wf=12mv20-12mv21⑥.联立⑤⑥两式得：Wf=12m［v20-(mgqB)2］.综上所述，本题正确答案为A、B、C.

三、带电体在复合场中的运动

带电粒子在复合场中的运动历年来都是高考考查的重点和难点，涉及到的题型主要有选择题和计算题.由于多种力场的存在，会使物理情景发生更多的变化.

图2例3如图2所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，在竖直方向固定一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m，电量为+q，电场强度为E、磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.小球由静止开始下滑直到稳定的过程中().

A.小球的加速度一直减小

B.小球的机械能和电势能的总和保持不变

C.下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v=2μqE-mg2μqB

D.下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v=2μqE+mg2μqB

解析小球由静止开始运动，最初由于速度很小，洛伦兹力很小，杆对小球的弹力N方向向右，水平方向受力平衡得：N+qvB=qE ①；摩擦力满足方程：f=μN②；竖直方向由牛顿第二定律得：mg-f=ma③.根据以上三式可得：当v↑时，N↓,f↓,a↑，a的方向和大小决定着v的变化快慢，v的变化又决定了N的变化，N的变化又决定了f的大小，而f的变化又反过来影响着a的变化;这又是一种具有一定方向性的循环制约关系，特别类似于生物学上的“食物链”.当N=0的瞬间，f=0，amax=g，加速度达到最大值.此后速度要继续增加，进而导致弹力N反向，①式随之变为：qvB=N+qE④，由②③④知：当v↑时，N↑,f↑,a↓，直至当f=mg时，a=0，此时有最大速度vmax=mg+μqEμqE，此后小球按此速度匀速向下运动.故小球的加速度变化规律为先增加后减小直至等于零，故A错；由于小球在等势面上运动，电势能不变，但是小球要克服摩擦力做功，故小球的机械能减少，B也错误；在加速度增加阶段，当a=12g时满足：mg-μ(qE-qv1B)=ma⑤；在加速度减小阶段，当a=12g时满足：mg-μ(qv2B-qE)=ma⑥.根据⑤⑥两式分别解得：v1=2μqE-mg2μqB,v2=2μqE+mg2μqB .故本题正确答案为C和D.

处理这类问题时，找准各物理量之间所遵循的规律和它们之间的动态相互制约关系以及最终要达到的稳定状态是极为重要的.

四、导体棒在含容电磁感应中的运动

含容问题一直都是学生学习的薄弱环节，特别是含容电路与电磁感应相结合时更是令许多学生头痛不已.请看下面的例题.

图3例4如图3所示，在竖直放置的两条平行光滑长直导轨的上端，接有一电容为C击穿电压足够大的电容器，有一匀强磁场与导轨平面垂直，磁感应强度为B.现有一与导轨接触良好的质量为m、长为L 的金属棒ef，从静止开始沿导轨下滑.试求：金属棒下滑的加速度表达式.（图中任何部分的电阻和电感均忽略不计）

解析金属棒ef在其自身重力作用下向下加速，由于电路中的电阻和电感均忽略不计，所以在运动过程中的任一时刻，电容器两板间的电压等于导体棒的切割电动势，即：UC=BLv，相当于ef给电容器充电，电路中就会有充电电流，从而导体棒就会受到安培力的作用，对运动过程中某一时刻的导体棒由牛顿第二定律得： mg-ILB=ma①，该式说明了I的大小决定了a的大小；对充电中的电容器取一极短时间进行分析有：I=ΔQΔt=CΔUCΔt=CBLΔvΔt=CBLa，即：I=CBLa ②，该式反过来说明了a的大小也决定着I的数值.联立①②两式解得：a=mm+CB2L2g.

解决这个问题的关键在于：如何在导体棒不断的给电容器充电的动态过程中通过电容器去寻找电流与加速度之间的关系；而在对导体棒应用牛顿第二定律时恰好又可以再次得到加速度与电流之间的制约关系.这样最终可得加速度的表达式.加速度为定值，反映出导体棒的速度在均匀增加，从而导致电容器极板间的电压也在均匀增加，电路中才会有恒定的电流，导体棒才会受到恒定的安培力作用，这也恰好验证了导体棒加速度为定值这一循环相互作用的最终结果.

总之，在许多物理过程中，物理量之间的关系是错综复杂的，只要进行抽丝剥茧般地分析、推理，就一定可以从“山重水复疑无路”的迷雾走向“柳暗花明又一村”的洞天之地.

(收稿日期：2014-02-16)

影响事物的发展的因素有很多，有一句话“一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后在美国德克萨斯引起一场龙卷风.”说的就是这个道理.同样，在物理学中，这种相互制约的现象也比比皆是.尤其是在有些物理量之间存在着某种封闭的循环制约关系.打个比方，在一个三口之家中，爸爸管着儿子，儿子管着妈妈，妈妈又管着爸爸，彼此约束又相互制衡，可谓是牵一发而动全身.在教学实践中笔者发现，学生对于这类物理问题的解决往往束手无策.现举几例加以说明.

一、汽车以恒定功率启动问题

汽车以恒定功率启动时，速度不断增大，由于功率保持不变，故牵引力不断减小，加速度也不断减小，只要加速度还未等于零，速度就继续增大，进而牵引力还要继续减小…这是一种典型的循环制约的动态关系，直到牵引力等于阻力时，加速度等于零，汽车达到最大速度这一稳定状态为止.

例1（2011年广东六校联考）汽车以恒定功率在平直公路上匀速行驶，在t1时刻司机减小了油门，使汽车的功率立即减小了一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻汽车又开始做匀速直线运动（设整个过程中汽车所受的阻力不变），则在t1-t2时间内().

A.汽车的加速度逐渐减小

B.汽车的加速度逐渐增大

C.汽车的速度逐渐减小

D.汽车的速度逐渐增大

解析原来汽车匀速行驶时，牵引力等于阻力，t1时刻油门减小，功率瞬间变为原来的一半，而此时速度尚未来得及发生变化，由公式P=Fv知，牵引力瞬间也减为原来的一半，由于阻力保持不变，所以汽车立刻开始减速.又由于此后功率保持不变，速度减小，故牵引力又从最初的一半开始增加，根据f-F=ma知减速时的加速度减小，当牵引力再次等于阻力时，汽车以更小速度匀速运动.故本题答案选A、C.

二、带电体在匀强磁场中的运动

当一个带电体在匀强磁场中运动时，速度的变化会影响到洛伦兹力的大小，洛伦兹力的大小变化会影响到压力的变化，而压力的变化进而会影响到摩擦力的变化，从而影响带电体的加速度变化，而加速度的变化最终又会影响到速度的变化；这样的一种循环式的相互作用最终要达到一种什么样的运动状态呢？请看例 .

图1例2如图1所示，在一绝缘、粗糙且足够长的水平管道中有一带电量为+q、质量为m的带电球体，管道半径略大于球体半径，整个管道处于磁感应强度为B的水平匀强磁场中，磁感应强度方向与管道垂直，现给带电体一个水平速度v0，则在整个运动过程中，带电球体克服摩擦力所做的功可能为（）.

A.0B.12m(mgqB)2

C.12mv20D.12m［v20-(mgqB)2］

解析结合左手定则对小球进行受力分析可知：当v0刚好满足：qv0B=mg①时，小球不受滑动摩擦力作用一直做匀速直线运动，故摩擦力做功为零；当qv0Bmg时，小球受到向下的压力，满足方程： N+mg=qvB ④，f与v反向并结合②③④式可得：当v↓时，N↓,f↓,a↓,v↓…… 最终当N=0时，f=0，a=0，小球先做加速度越来越小的变减速运动，最终匀速运动，匀速时满足：qv1B=mg ⑤，由动能定理还可得克服摩擦力所做的功为：Wf=12mv20-12mv21⑥.联立⑤⑥两式得：Wf=12m［v20-(mgqB)2］.综上所述，本题正确答案为A、B、C.

三、带电体在复合场中的运动

带电粒子在复合场中的运动历年来都是高考考查的重点和难点，涉及到的题型主要有选择题和计算题.由于多种力场的存在，会使物理情景发生更多的变化.

图2例3如图2所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，在竖直方向固定一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m，电量为+q，电场强度为E、磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.小球由静止开始下滑直到稳定的过程中().

A.小球的加速度一直减小

B.小球的机械能和电势能的总和保持不变

C.下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v=2μqE-mg2μqB

D.下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v=2μqE+mg2μqB

解析小球由静止开始运动，最初由于速度很小，洛伦兹力很小，杆对小球的弹力N方向向右，水平方向受力平衡得：N+qvB=qE ①；摩擦力满足方程：f=μN②；竖直方向由牛顿第二定律得：mg-f=ma③.根据以上三式可得：当v↑时，N↓,f↓,a↑，a的方向和大小决定着v的变化快慢，v的变化又决定了N的变化，N的变化又决定了f的大小，而f的变化又反过来影响着a的变化;这又是一种具有一定方向性的循环制约关系，特别类似于生物学上的“食物链”.当N=0的瞬间，f=0，amax=g，加速度达到最大值.此后速度要继续增加，进而导致弹力N反向，①式随之变为：qvB=N+qE④，由②③④知：当v↑时，N↑,f↑,a↓，直至当f=mg时，a=0，此时有最大速度vmax=mg+μqEμqE，此后小球按此速度匀速向下运动.故小球的加速度变化规律为先增加后减小直至等于零，故A错；由于小球在等势面上运动，电势能不变，但是小球要克服摩擦力做功，故小球的机械能减少，B也错误；在加速度增加阶段，当a=12g时满足：mg-μ(qE-qv1B)=ma⑤；在加速度减小阶段，当a=12g时满足：mg-μ(qv2B-qE)=ma⑥.根据⑤⑥两式分别解得：v1=2μqE-mg2μqB,v2=2μqE+mg2μqB .故本题正确答案为C和D.

处理这类问题时，找准各物理量之间所遵循的规律和它们之间的动态相互制约关系以及最终要达到的稳定状态是极为重要的.

四、导体棒在含容电磁感应中的运动

含容问题一直都是学生学习的薄弱环节，特别是含容电路与电磁感应相结合时更是令许多学生头痛不已.请看下面的例题.

图3例4如图3所示，在竖直放置的两条平行光滑长直导轨的上端，接有一电容为C击穿电压足够大的电容器，有一匀强磁场与导轨平面垂直，磁感应强度为B.现有一与导轨接触良好的质量为m、长为L 的金属棒ef，从静止开始沿导轨下滑.试求：金属棒下滑的加速度表达式.（图中任何部分的电阻和电感均忽略不计）

解析金属棒ef在其自身重力作用下向下加速，由于电路中的电阻和电感均忽略不计，所以在运动过程中的任一时刻，电容器两板间的电压等于导体棒的切割电动势，即：UC=BLv，相当于ef给电容器充电，电路中就会有充电电流，从而导体棒就会受到安培力的作用，对运动过程中某一时刻的导体棒由牛顿第二定律得： mg-ILB=ma①，该式说明了I的大小决定了a的大小；对充电中的电容器取一极短时间进行分析有：I=ΔQΔt=CΔUCΔt=CBLΔvΔt=CBLa，即：I=CBLa ②，该式反过来说明了a的大小也决定着I的数值.联立①②两式解得：a=mm+CB2L2g.

解决这个问题的关键在于：如何在导体棒不断的给电容器充电的动态过程中通过电容器去寻找电流与加速度之间的关系；而在对导体棒应用牛顿第二定律时恰好又可以再次得到加速度与电流之间的制约关系.这样最终可得加速度的表达式.加速度为定值，反映出导体棒的速度在均匀增加，从而导致电容器极板间的电压也在均匀增加，电路中才会有恒定的电流，导体棒才会受到恒定的安培力作用，这也恰好验证了导体棒加速度为定值这一循环相互作用的最终结果.

总之，在许多物理过程中，物理量之间的关系是错综复杂的，只要进行抽丝剥茧般地分析、推理，就一定可以从“山重水复疑无路”的迷雾走向“柳暗花明又一村”的洞天之地.

(收稿日期：2014-02-16)

影响事物的发展的因素有很多，有一句话“一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后在美国德克萨斯引起一场龙卷风.”说的就是这个道理.同样，在物理学中，这种相互制约的现象也比比皆是.尤其是在有些物理量之间存在着某种封闭的循环制约关系.打个比方，在一个三口之家中，爸爸管着儿子，儿子管着妈妈，妈妈又管着爸爸，彼此约束又相互制衡，可谓是牵一发而动全身.在教学实践中笔者发现，学生对于这类物理问题的解决往往束手无策.现举几例加以说明.

一、汽车以恒定功率启动问题

汽车以恒定功率启动时，速度不断增大，由于功率保持不变，故牵引力不断减小，加速度也不断减小，只要加速度还未等于零，速度就继续增大，进而牵引力还要继续减小…这是一种典型的循环制约的动态关系，直到牵引力等于阻力时，加速度等于零，汽车达到最大速度这一稳定状态为止.

例1（2011年广东六校联考）汽车以恒定功率在平直公路上匀速行驶，在t1时刻司机减小了油门，使汽车的功率立即减小了一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻汽车又开始做匀速直线运动（设整个过程中汽车所受的阻力不变），则在t1-t2时间内().

A.汽车的加速度逐渐减小

B.汽车的加速度逐渐增大

C.汽车的速度逐渐减小

D.汽车的速度逐渐增大

解析原来汽车匀速行驶时，牵引力等于阻力，t1时刻油门减小，功率瞬间变为原来的一半，而此时速度尚未来得及发生变化，由公式P=Fv知，牵引力瞬间也减为原来的一半，由于阻力保持不变，所以汽车立刻开始减速.又由于此后功率保持不变，速度减小，故牵引力又从最初的一半开始增加，根据f-F=ma知减速时的加速度减小，当牵引力再次等于阻力时，汽车以更小速度匀速运动.故本题答案选A、C.

二、带电体在匀强磁场中的运动

当一个带电体在匀强磁场中运动时，速度的变化会影响到洛伦兹力的大小，洛伦兹力的大小变化会影响到压力的变化，而压力的变化进而会影响到摩擦力的变化，从而影响带电体的加速度变化，而加速度的变化最终又会影响到速度的变化；这样的一种循环式的相互作用最终要达到一种什么样的运动状态呢？请看例 .

图1例2如图1所示，在一绝缘、粗糙且足够长的水平管道中有一带电量为+q、质量为m的带电球体，管道半径略大于球体半径，整个管道处于磁感应强度为B的水平匀强磁场中，磁感应强度方向与管道垂直，现给带电体一个水平速度v0，则在整个运动过程中，带电球体克服摩擦力所做的功可能为（）.

A.0B.12m(mgqB)2

C.12mv20D.12m［v20-(mgqB)2］

解析结合左手定则对小球进行受力分析可知：当v0刚好满足：qv0B=mg①时，小球不受滑动摩擦力作用一直做匀速直线运动，故摩擦力做功为零；当qv0Bmg时，小球受到向下的压力，满足方程： N+mg=qvB ④，f与v反向并结合②③④式可得：当v↓时，N↓,f↓,a↓,v↓…… 最终当N=0时，f=0，a=0，小球先做加速度越来越小的变减速运动，最终匀速运动，匀速时满足：qv1B=mg ⑤，由动能定理还可得克服摩擦力所做的功为：Wf=12mv20-12mv21⑥.联立⑤⑥两式得：Wf=12m［v20-(mgqB)2］.综上所述，本题正确答案为A、B、C.

三、带电体在复合场中的运动

带电粒子在复合场中的运动历年来都是高考考查的重点和难点，涉及到的题型主要有选择题和计算题.由于多种力场的存在，会使物理情景发生更多的变化.

图2例3如图2所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，在竖直方向固定一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m，电量为+q，电场强度为E、磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.小球由静止开始下滑直到稳定的过程中().

A.小球的加速度一直减小

B.小球的机械能和电势能的总和保持不变

C.下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v=2μqE-mg2μqB

D.下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v=2μqE+mg2μqB

解析小球由静止开始运动，最初由于速度很小，洛伦兹力很小，杆对小球的弹力N方向向右，水平方向受力平衡得：N+qvB=qE ①；摩擦力满足方程：f=μN②；竖直方向由牛顿第二定律得：mg-f=ma③.根据以上三式可得：当v↑时，N↓,f↓,a↑，a的方向和大小决定着v的变化快慢，v的变化又决定了N的变化，N的变化又决定了f的大小，而f的变化又反过来影响着a的变化;这又是一种具有一定方向性的循环制约关系，特别类似于生物学上的“食物链”.当N=0的瞬间，f=0，amax=g，加速度达到最大值.此后速度要继续增加，进而导致弹力N反向，①式随之变为：qvB=N+qE④，由②③④知：当v↑时，N↑,f↑,a↓，直至当f=mg时，a=0，此时有最大速度vmax=mg+μqEμqE，此后小球按此速度匀速向下运动.故小球的加速度变化规律为先增加后减小直至等于零，故A错；由于小球在等势面上运动，电势能不变，但是小球要克服摩擦力做功，故小球的机械能减少，B也错误；在加速度增加阶段，当a=12g时满足：mg-μ(qE-qv1B)=ma⑤；在加速度减小阶段，当a=12g时满足：mg-μ(qv2B-qE)=ma⑥.根据⑤⑥两式分别解得：v1=2μqE-mg2μqB,v2=2μqE+mg2μqB .故本题正确答案为C和D.

处理这类问题时，找准各物理量之间所遵循的规律和它们之间的动态相互制约关系以及最终要达到的稳定状态是极为重要的.

四、导体棒在含容电磁感应中的运动

含容问题一直都是学生学习的薄弱环节，特别是含容电路与电磁感应相结合时更是令许多学生头痛不已.请看下面的例题.

图3例4如图3所示，在竖直放置的两条平行光滑长直导轨的上端，接有一电容为C击穿电压足够大的电容器，有一匀强磁场与导轨平面垂直，磁感应强度为B.现有一与导轨接触良好的质量为m、长为L 的金属棒ef，从静止开始沿导轨下滑.试求：金属棒下滑的加速度表达式.（图中任何部分的电阻和电感均忽略不计）

解析金属棒ef在其自身重力作用下向下加速，由于电路中的电阻和电感均忽略不计，所以在运动过程中的任一时刻，电容器两板间的电压等于导体棒的切割电动势，即：UC=BLv，相当于ef给电容器充电，电路中就会有充电电流，从而导体棒就会受到安培力的作用，对运动过程中某一时刻的导体棒由牛顿第二定律得： mg-ILB=ma①，该式说明了I的大小决定了a的大小；对充电中的电容器取一极短时间进行分析有：I=ΔQΔt=CΔUCΔt=CBLΔvΔt=CBLa，即：I=CBLa ②，该式反过来说明了a的大小也决定着I的数值.联立①②两式解得：a=mm+CB2L2g.

解决这个问题的关键在于：如何在导体棒不断的给电容器充电的动态过程中通过电容器去寻找电流与加速度之间的关系；而在对导体棒应用牛顿第二定律时恰好又可以再次得到加速度与电流之间的制约关系.这样最终可得加速度的表达式.加速度为定值，反映出导体棒的速度在均匀增加，从而导致电容器极板间的电压也在均匀增加，电路中才会有恒定的电流，导体棒才会受到恒定的安培力作用，这也恰好验证了导体棒加速度为定值这一循环相互作用的最终结果.

总之，在许多物理过程中，物理量之间的关系是错综复杂的，只要进行抽丝剥茧般地分析、推理，就一定可以从“山重水复疑无路”的迷雾走向“柳暗花明又一村”的洞天之地.

(收稿日期：2014-02-16)