郭莉滨

(重庆第二师范学院，重庆 400065)

马尔可夫模型是地理预测中常用的重要方法之一[1]，主要是根据事件的目前状况对未来各时期可能出现的变化情况进行预测，基本立足点是马尔可夫链。显而易见的是，虽然地价在空间上表现一定的规律性，但仍然会受到许多不确定性因素的影响，从而使地价在空间上也呈现出不确定性。影响的主要因素，包括土地的供需关系、土地需求者对不动产市场的心理预期，以及干扰因素的存在，甚至于某些偶然因素，等等。传统地价指数编制的高难度和信息的滞后性，以及常用预测方法忽视地价指数随时间变化呈现上涨趋势的非平稳随机过程，极易造成预测精度低等问题[2]。本文尝试为城镇地价指数提供一种全新的预测方法，即运用随机过程中马尔可夫链理论，构建起地价预测模型，进而对地价的空间变化特征进行定量分析，由此推算出在城市扩展过程中，距城市中心不同距离的城乡结合部的不同地价，以此为农地分等定级估价以及征地片区综合地价制订等提供理论依据[3]。

1 马尔可夫模型的基本原理

1.1 计算地价状态转移概率矩阵

一般而言，地价状态转移概率，是指在由于区位不同导致的地价变化中，在某一区位处于某一种地价的状态下，其下一个区位出现有别于上一区位地价的可能性。按照对条件概率的界定，如果地价状态Ei转为状态Ej，那么状态转移概率Q(Ei→Ej)就是条件概率Q(Ej/Ei)，即

Q(Ei→Ej)=Q(Ei/Ej)=Qij

(1)

我们假定地价状态转移概率矩阵在某一方向沿线上被预测的地价可能状态有E1，E2，E3，…，En。那么，从地价状态Ei转为状态Ej的状态转移概率，记为Qij，并形成矩阵[3]：

(2)

把地价的状态转移概率矩阵记为Q。假定在被预测的某一方向沿线上，某一点的目前状态为Ei，那么在距其一定距离的下一点，则有可能转为E1，E2，…Ei，…En中的任一状态。基于此，Qij应当满足以下条件：

(3)

一般地，我们把满足(3)式的矩阵，称为随机矩阵或概率矩阵。容易证明，如果Q为概率矩阵，那么对于任何数，只要m>0，Qm都是概率矩阵。如果Q为概率矩阵，而且存在整数m>0，使得Qm中的各元素全部不是零，则把Q称为标准概率矩阵。

1.2 计算北京市京密引水渠沿线地价变化的状态转移概率矩阵

选取北京市城乡结合部京密引水渠方向上的地价作为例子探讨。基础数据来源于课题组的实地调查。

首先，表1给出了北京市京密引水渠沿线等间距(间距为0.3km，由于实地情况的限制，间距误差在5%之内)共36个调查点地价状态的变化情况，方向为偏离市中心方向。

表1 北京市京密引水渠沿线等间距地价状态变化情况

再计算地价变化的状态转移概率矩阵。根据表1数据，有

Q11=Q(E1→E1)=Q(E1/E1)=5/13=0.2000

Q12=Q(E1→E2)=Q(E1/E2)=7/15=0.4667

Q13=Q(E1→E3)=Q(E1/E3)=4/11=0.3333

Q21=Q(E2→E1)=Q(E1/E2)=7/13=0.5385

Q22=Q(E2→E2)=Q(E2/E2)=2/13=0.1538

Q23=Q(E2→E3)=Q(E3/E2)=4/13=0.3077

Q31=Q(E3→E1)=Q(E1/E3)=4/11=0.3636

Q32=Q(E3→E2)=Q(E2/E3)=5/11=0.4545

Q33=Q(E3→E3)=Q(E3/E3)=2/11=0.18181

则京密引水渠方向地价变化的状态转移概率矩阵为

(4)

2 马尔可夫模型的应用

2.1 预测地价

运用上述模型，可以预测该方向上更远距离的地价水平。

我们首先假定状态概率为πj(g)，也就是事件在初始状态(g=0)为已知的条件下，经过g次状态转移，在第g个时刻处于状态Ej的概率。按照概率的性质，可得

(5)

可以看到，从初始状态开始，经g次状态转移到达状态Ej的这一过程，可视为首先经过(g-1)次状态转移到达状态Ei(i=1，2，…，n)，然后再经过一次状态转移，从状态Ei到达Ej。根据马尔可夫过程的无后效性和Bayes条件概率公式，可以得到

(6)

若行向量π(g)=[π1(g)，π2(g)，…，πn(g)]，则由(6)式得出逐次计算状态概率的递推公式

(7)

在(7)式中，π(0)=[π1(0)，π2(0)，…，πn(0)]，为初始状态概率向量。

可以运用以上结果对京密引水渠方向上的地价进行预测。如果将第36个样点的地价变化状态记为π(0)=[0，1，0]，就可以把地价状态转移概率矩阵及π(0)代入递推公式，得出这一方向上沿线地区可能出现的地价变化状态的概率(表2)。

表2 京密引水渠沿线地区地价变化状态预测表

注：表中“距离”是根据北京市城市扩展情况，通过几何计算确定的中心点距样本点之间的距离。

图1 京密引水渠沿线地区地价变化状态垂线图

根据上述数据绘制京密引水渠方向地价变化垂线图(图1)。从图中可以看出，E1、E2、E3随着距离的增加有很大变化，在一定距离之后，变化则逐渐减小。在三个指标之中，E1变化幅度最为激烈，E3变化幅度最小。由此可见，在该方向沿线上，地价下降趋势较为明显，但在一定因素作用下，某些区位的地价却能够保持在一定的水平上，甚至高出离城区更近的区位地价。

2.2 预测地价的总体趋势

我们把经过无穷次状态转移后得到的状态概率，称为“终极状态概率”或“平衡状态概率”。如果把“终极状态概率”向量记为π=[π1，π2，…，πn]，那么

(8)

即

(9)

按照极限的定义，可知

(10)

将其代入马尔可夫预测模型的递推公式，得到：

(11)

由此，可以得到终极状态概率应满足的条件：

A.π=πQ

B. 0≤πi≤1(i=1，2，…，n)

在三个条件中，B、C是状态概率的要求，其中B表征的是，在经过无穷次状态转移后，该事件仍处于n种状态中的一种。条件A用于计算终极状态概率，是预测马尔可夫过程可能出现某种趋势的重要信息。

根据上面的方法计算京密引水渠方向地价变化终极状态概率，设该概率为π=[π1，π2，π3]，则

[π1，π2，π3]=

(12)

即

(13)

求解方程组，得

π1=0.4653，π2=0.3525，π3=0.1822。

结果表明，在京密引水渠方向沿线地区，随着距中心城区距离越远，地价总体水平呈下降趋势，上升趋势概率约为18.22%。

2.3 对比不同区域

运用上述方法，结合课题组调研的数据资料，分别从北京市5个方向上(西北、东北、正东、东南、西南)对城乡结合部地价趋势进行预测，结果见表3和图2。

表3 北京市5个方向上城乡结合部地价趋势预测

图2 北京市5个方向上城乡结合部地价趋势比较图

以上结果显示，北京市5个方向上的地价变化趋势存在很大差异，这也从一个侧面印证了北京市的不均衡发展。结果表明，北京市西南方向地价下降趋势最为明显，东南方向次之。地价变化幅度最小的是东北方向。结合北京市道路网络图(图3)，可以看出，北京市的不均衡发展在很大程度上影响了城乡结合部的地价分布规律，由于投入不足，交通网络不发达，市政基础设施不完善，使得西南和东南方向的地价在偏离中心城区一定距离后陡降；对其他几个方向而言，在偏离中心城区一定距离内，仍具有发达的交通网络和基础设施，地价自然下降得不大。

图3 北京市道路网络图

同时，在各个方向上一些卫星城镇对地价的影响也很大。从北京市卫星城镇体系图(图4)可以看出，西北、东北、正东方向皆有两个左右的卫星城镇，基于城市引力模型，这些城镇对于该方向上的市场结构和发展形态产生作用，进而影响到地价的变化规律。而这种影响程度的大小取决于卫星城镇的人口数量。对于西南和东南方向而言，由于卫星城镇的数量较少甚至没有，因此，卫星城镇对于地价的提升作用就不明显。这样，就会出现随着距市区距离越远，地价越低的局面[5]。

图4 北京市卫星城镇体系图

3 结果讨论

农用地的转用过程集中发生在城乡结合部，伴随着土地权属的变更和使用方式的演替，作为其转换价值表象的地价必然会发生变化。因此，在城乡结合部，地价的变化规律迥异于城市内部。研究农地转用价格，通过城乡结合部这一载体，可以更深入地了解农地的价值构成以及不同因素对于地价的影响。选用一定的定量模型，即可达成上述目的[6]。通过运用Margov模型对北京市城乡结合部的地价进行测算，结果显示，上述模型可以在一定程度上反映出北京城乡结合部地价的变化规律，为进一步认识土地在城市化过程中的价格规律奠定了基础。其模型的测算结果，可以反映出以下问题：

3.1 北京城市发展的不均衡性

任何一种经济活动都处于从均衡到不均衡、再到均衡的演变过程中。经济发展与城市化具有一致性，初期总是先在空间的某一点上形成一个发展极，人口、技术、资本都向这个点集聚，然后再通过产品的交易过程实现向周边的扩散[7]。集聚与扩散的过程，使得区域经济发展呈现从点到线、再连线成网、从网到片的趋势。城市化的过程，就是这样一种不均衡发展的过程。北京的城市发展印证了这一点。通过两个模型的测算结果，可以清晰地看出，北京市城市处于不均衡的发展过程中，具体表现在城乡结合部地价变化的规律上。由于基础设施、各种投入的差异，甚至还有人们传统思维中“北贵南贱”的思想，北京的城北地区在发展过程中逐步形成了很大的既得优势，积累了大量物质要素，这无形中提高了人们对于城北地区的期望[8]。这也造成了城北地区农地转用价格明显高于其他方位的现象。造成这种现象的深层次原因，还是农地价格构成中的未来价值增长部分的差异。在区位因素、基础设施、环境条件乃至个人偏好等因素的综合作用下，对于城北地区未来价值增长的预期明显高于其他方向的相应区域，于是，地价的变化也就清晰地反映出了这种差异[9]。因此，一个城市的发展应该是均衡或者是相对均衡的，否则城市的发展是难以可持续的，城市的蔓延也是无规则、非精明的。要改变北京城市发展的不均衡性，将是一项长期的工作，除了通过加大投入来提升土地价值之外，改变人们的观念也是需要做的工作[10]。

3.2 影响城乡结合部地价变化的多因素性

城市地价受多种因素影响，而且在这些因素作用下呈现出一系列的变化规律。城乡结合部农地转用价格的情况，较城市地价更加复杂，受到更多因素的影响。影响农地未来价值增长的因素，既有宏观因素，也有微观因素。从宏观因素看，包括城市化进程、城市发展政策、投资趋向以及资本市场等。从微观因素看，又可分为实体因素和虚幻因素。实体因素包括基础设施、环境条件等，虚幻因素是人们对于农地转用后基于该地块的预期，其又受到传统思维、个人偏好、社会导向等因素影响。以上分析可以看出，正是这些因素的综合作用，才形成了模型测算出的北京市城乡结合部不同方向上地价变化规律的迥异状况[11]。因此，进一步对这些影响因素进行分析，对于我们深入认识农地转用价格有重要的意义。

参考文献：

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