孙晓强，陈 龙，汪若尘，张孝良, 陈月霞

(江苏大学 汽车与交通工程学院，江苏 镇江 212013)

为实现机械与电子网络严格意义的相互对应，Smith[1]提出惯容器(Inerter)概念，给出两端点实现形式，并探讨惯容器的隔振潜力。由此，惯容器、弹簧及减振器结合的 ISD (Inerter-Spring-Damper)悬架用于F1赛车，大大提升其操控性能[2]。王富正等[3]提出含惯容器的火车悬架，研究表明，该悬架能提升火车的乘坐舒适性及行驶安全性。陈龙等[4-5]对应用惯容器的车辆悬架进行研究，证实惯容器能提高车辆悬架的隔振性能；而惯容器应用研究均以惯容器理想线性数学模型为前提，忽略惯容器实际结构中存在的非线性因素。文献[6]通过试验发现非线性因素对惯容器的力学性能有直接影响，并建立含间隙、非线性弹性力的惯容器非线性模型，利用试验数据对该模型进行非线性回归分析。文献[7]在此基础上加入摩擦力非线性因素，通过建立惯容器非线性数学模型，研究惯容器非线性对ISD悬架性能影响。

止今，惯容器的非线性研究仍局限在基于经验的简单数学模型，未能充分刻画实际工况下惯容器动态行为，在一定程度上限制了ISD悬架性能的进一步提升。人工神经网络为基于生物神经网络的模型，具有处理强非线性优点，虽模型精度依赖于试验数据的质量、数量；但随试验条件的改善，准确获取惯容器在不同工况下力学性能成为可能。本文考虑在惯容器力学性能试验基础上，采用BP神经网络对惯容器力学性能进行预测。针对BP网络对初始权值、阈值较敏感问题，将遗传算法与神经网络结合，通过遗传算法对BP网络的初始权值、阈值进行优化，网络预测结果表明该方法预测性能良好、预测精度较高。

1 惯容器工作原理及性能试验

1.1 惯容器工作原理

惯容器与弹簧、减振器同样为真正意义的两端点机械元件，与电学网络中的电容严格对应。理想惯容器两端点间相对加速度与施加于两端点的力成正比[2]，动态方程可表示为

(1)

式中：F为施加于两端点的轴向力；b为惯容器惯容系数；v1，v2为两端点速度。

滚珠丝杠式惯容器利用滚珠丝杠副将两端点间直线运动转换为飞轮的旋转运动，动力学方程为

ω=(2π/P)v

(2)

F=(2π/P)T

(3)

T=J(dω/dt)

(4)

式中：v为惯容器两端间相对速度；ω为丝杠旋转角速度；T为丝杠驱动力矩；P为滚珠丝杠副导程；J为惯容器转动惯量。

联立式(2)～式(4)得：

F=(2π/P)2J(dv/dt)

(5)

对比式(5)、(1)得惯容器惯容系数表达式为

b=(2π/P)2J

(6)

图1 惯容器试验

惯容系数为惯容器的惯性参照，b值一般在几百千克左右；因此惯容器的物理性质与同等重量质量块相当，但通过式(6)，惯容器可实现将几百千克的惯性质量转化到仅百克重量的飞轮旋转中，此为惯容器提出的意义所在。

1.2 试验方案

试验对象为本文研制的滚珠丝杠式惯容器，惯容器采用三种大小不同飞轮，惯容系数分别为30 kg，130 kg，332 kg。惯容系数的选取主要考虑惯容器在车辆悬架中的实际应用，一般小于500 kg。本文惯容系数取30 kg惯容器空载状况，即不装飞轮。试验设备为美国INSTRON公司8800数控液压伺服激振试验台，该试验台能支持激振头按一定位移要求运动，并实时观测、保存激振头位移及载荷信号。惯容器上端固定，下端与激振头相连，见图1，试验采用正弦输入，测试工况参数见表1。据车辆振动较敏感频率范围，选惯容器激振输入频率，为防止测试力超出激振台负荷，高频振动时用较小振幅。

表1 测试工况参数

1.3 试验结果

通过试验获得51种测试工况下惯容器动态响应特性。以b=130 kg为例，激振输入频率分别为0.1 Hz、7 Hz及14 Hz时，惯容器的力学响应见图2，各测试工况结果及惯容器输出力的平均幅值与理论幅值对比见表2，二者间绝对误差百分比随频率f的变化关系见图3。

表2 惯容器试验结果

图2 惯容器力学响应

图3 绝对误差百分比

2 试验结果分析

2.1 惯容器非线性因素分析

由试验结果看出，惯容器的实际力学响应并非理想状况的线性元件，说明非线性因素对惯容器力学性能影响显著。惯容器的非线性因素主要源于滚珠丝杠副，包括摩擦、间隙及非线性弹性力等。

惯容器中摩擦主要存在于丝杠、螺母间接触面，性质为滚动摩擦，正常情况下摩擦阻力较小，但为尽可能减小间隙，通常对滚珠丝杠副进行较大预紧，导致接触面正压力增大，致摩擦力增大。滚珠丝杠副中摩擦力f与速度v的关系见图4，表达式[8]为

f=-f0sgn(v)

(7)

式中：f0为摩擦力幅值；sgn为符号函数，v>0时函数值取1；v=0时函数值取0；v<0时函数值取-1。

惯容器中间隙不仅含螺母与丝杠间游隙，亦含安装中两端吊耳间间隙。惯容器位移方向改变时，间隙的非线性特性会显现。设间隙量为2B，惯容器输出位移x0与输入位移x关系见图5，输入增加时，输出沿1→2→3路径变化，输入减小时，输出沿3→4→1路径变化[9]。理想模型中的丝杠刚度无穷大，故在丝杠承受轴向力及扭转力矩时不考虑其弹性形变，与事实不符。丝杠的轴向、扭转刚度与丝杠位移及运动方向均有关，且呈非线性特征[10]。因此滚珠丝杠副在力传播过程中亦受非线性弹性力影响。

图4 摩擦力与速度关系

2.2 非线性因素对惯容器性能影响

由图2(a)知，低频时惯容器输出力近似方波，与摩擦力非线性特性相符；而由图2(b)、(c)知，在中、高频振动输入下，惯容器输出力曲线与正弦曲线较接近，但输出力在达到峰值与接近零时出现小幅波动，主要受摩擦力、间隙影响。由于输出力达到峰值时说明惯容器加速度亦处于峰值，而惯容器速度恰处于正负交替临界点，见图6。由图6看出，据摩擦力非线性特性，摩擦力方向出现突变；输出力接近零时，惯容器位移方向出现突变，体现出间隙影响。

由表2、图3看出，低频段惯容器输出力的试验幅值与理论幅值相差较大，且随频率的增加，二者之间差幅不断减小，惯容系数较大时，该趋势更明显。由于频率低惯容器惯性力小，摩擦力占主导地位；随频率的不断增大，惯容器惯性力逐渐超过摩擦力，摩擦力影响随之减小，惯容系数越大，惯性力增长速度越快，因而趋势更明显；而随频率继续升高，试验幅值与理论幅值间差值显出增大趋势。值得注意的是，大多测试工况下试验幅值大于理论幅值，而在频率分别为13 Hz、14 Hz、15 Hz情况下，试验幅值却出现跌落(表2加粗数据)。主要因高频输入时所选振幅较小，使惯容器内部及两端吊耳间间隙占位移输入比例增大，间隙对惯容器输出力影响更凸显。

图6 正弦输入下位移、速度、加速度对比

由以上分析看出，非线性因素对惯容器力学性能影响复杂多变，仅凭定性描述远不能掌握实际工况下惯容器动态行为；因此，考虑建立惯容器自适应神经网络模型，利用神经网络泛化能力强的特点，进行惯容器力学性能预测。

3 惯容器自适应神经网络模型建立

3.1 遗传BP神经网络算法

BP网络对初始权值、阈值的选择较敏感，若选取不当，会使网络陷入局部最优甚至难收敛，而遗传算法能进行并行随机最优搜索，具有较强的全局搜索能力；因此，本文利用遗传算法对BP网络的初始权值、阈值进行优化，使优化后的网络能更好预测函数输出，算法流程[11]如下：

(1) 种群初始化。据被拟合函数的输入输出确定BP网络结构，进而确定遗传算法个体长度，个体编码方法采用实数编码，每个个体均为实数串，含网络全部权值、阈值。

(2) 适应度函数。将初始个体对应的权值、阈值赋予BP网络，利用训练数据对网络进行训练，再预测系统输出，系统绝对误差及倒数即为遗传算法的个体适应度F：

(8)

式中：n为网络输出节点数；yi为第i节点期望输出；oi为第i节点预测输出。

(3) 选择操作。基于适应度比例对个体进行选择操作，个体i被选概率pi为

(9)

式中：Fi为个体i的适应度；N为种群规模，适应度越高的个体被选择的几率越大。

(4) 交叉操作。操作方法采用实数交叉法，第k个染色体ak与第l个染色体al在j位进行交叉操作：

(10)

式中：h为[0，1]间随机数。

(5) 变异操作。选第i个体第j位基因进行变异，变异方法为

(11)

式中：amax，amin分别为基因aij的上、下界；f(g)=r1(1-g/Gmax)，r1为随机数，g为当前迭代次数，Gmax为最大迭代次数；r为[0，1]间随机数。

(6) 计算适应度函数。若满足算法结束条件，输出最优网络初始权值、阈值，不满足则返回第(3)步，进行个体再寻优。

(7) 将所得最优个体作为BP网络的初始权值、阈值，利用训练样本训练BP网络，通过测试数据对网络预测能力进行检验。

3.2 惯容器神经网络模型

分析试验结果及非线性因素对惯容器力学性能影响发现，惯容系数、加速度对惯容器输出力影响毋庸置疑，而摩擦力方向取决于速度方向，位移方向、大小决定间隙对惯容器输出力影响程度；因此，将惯容系数及惯容器在多个瞬态时间点下位移、速度及加速度为神经网络输入，惯容器输出力为网络输出。鉴于试验台只能保存惯容器位移输入，借助Matlab曲线拟合工具箱CFTOOL对惯容器位移输入进行曲线拟合，将所得曲线方程进行差分求导可得惯容器速度、加速度输入。

由于惯容器的激振输入为周期输入，为提高效率，本文将采样时长定为两个周期，每个周期的采样频率10 Hz，每个测试工况采集20组数据点，获得用于神经网络训练及测试的数据点共51×20 = 1 020组。基于三层GA-BP神经网络建立惯容器的力学性能预测模型及三层BP网络模型与之进行比较，因模型有4个输入、1个输出参数，故将神经网络结构定为4-6-1，即输入层、隐含层及输出层神经元数目分别为4、6、1。

4 结果分析

图8 网络预测误差

在1020组数据中随机选918组用于神经网络训练，剩余102组作为网络测试数据，其中遗传算法种群规模为20，迭代次数50，交叉概率0.35，变异概率0.2，网络预测误差见图8。由图8看出，GA-BP网络,预测性能好于BP网络，计算所得GA-BP网络的预测均方误差为11.6；而BP网络预测均方误差为31.2，表明经优化后网络预测误差降低62.8%。

为进一步验证训练后所得网络对惯容器力学性能逼近情况，将3种确定测试工况下采样数据作为测试样本重新输入训练好的网络，网络预测结果见图9、表3。表3中，MSE为均方根误差，MPE为最大相对误差，由图9、表3知，经训练后的网络整体预测性能良好，能较好逼近惯容器实际力学性能。GA-BP网络MSE及MPE最大值分别为7.689，6.21%，较BP网络18.777与11.73%，分别降低59%，47%，预测精度更高。

表3 不同工况下预测结果

图9 网络性能预测

5 结 论

(1) 滚珠丝杠式惯容器力学性能试验结果能真实反映惯容器本身存在的非线性因素及非线性因素对惯容器力学性能影响机理。

(2) 惯容器输出力受众多非线性因素影响，且其之间函数关系呈现复杂多变特征，通过建立惯容器输出力神经网络模型能准确体现惯容器输出力与其主要影响因素间映射关系。

(3) 经遗传算法优化后BP网络体现出良好的预测性能及更高的预测精度，可为惯容器力学性能预测提供有效方法。

(4) 针对惯容器输出力呈现的强非线性特征，如何设计含惯容器强非线性悬架系统并对其进行控制将是惯容器继续深入研究的关键。

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