江小霞，王颂生

(江西师范大学数学与信息科学学院，江西 南昌 330022)



半模的根与基座的作用

江小霞，王颂生*

(江西师范大学数学与信息科学学院，江西 南昌 330022)

利用半模根和弱基座的理论，对有限生成半模和有限上生成半模进行了讨论，给出了半模M是有限生成的必要条件和半模M是有限上生成的充要条件.

有限生成半模；有限上生成半模；根；基座；弱基座

0 引言

众所周知，在模范畴中，任一模的本质子模的交恰是极小子模的和，但在半模范畴中，极小子半模的和是本质子半模的交的子半模，反过来则未必成立[1-6].于是，本文引进了半模的基座和弱基座2个定义，并且用弱基座刻画了有限上生成半模.同时，采用了文献[7]中半模的根的定义，也用根刻画了有限生成半模.本文所涉及的半环和半模的定义参见文献[1].

定义1[8]设A是半模，B是A的子半模，若x+y∈B，y∈B，有x∈B，则称B是A的可减子半模.

定义2[9]设A是半模，若A的所有子半模都是可减的，则称A是优半模.

1 基座和根

定义3 设M是左R-半模，记SocM=∑{K≤M|K在M中是极小的}，称之为M的基座.

定义4 设M是左R-半模，记WSocM=∩{L≤M|L在M中是本质}，称之为M的弱基座.

命题1 设M是左R-半模，则SocM≤WSocM.

引理1[10]单半模是循环半模.

引理2 设R是除半环，M是左R-半模，则∀x∈M(x≠0)，一定有Rx是极小子半模.

证设K是M中的子半模，且K≤Rx.因为K是单半模，由引理1知，K是循环半模，于是∃y∈Rx，使得K=Ry，并且∃r∈R，使得y=rx，又R是除半环，所以x=r-1y∈Ry=K.

命题2 设R是除半环，M是左R-半模，若M的每个非零子半模都包含极小子半模，则SocM=WSocM.

引理3 设Mα为单半模，则对任意的K-正则非零半模同态……