李景诗,王智宇,朱本喜,宋海明

(吉林大学 数学学院,长春 130012)

求解Black-Scholes模型下美式看跌期权的有限差分法

李景诗,王智宇,朱本喜,宋海明

(吉林大学 数学学院,长春 130012)

考虑Black-Scholes模型下美式看跌期权的定价问题.采用有限差分法和Newton法耦合求解Black-Scholes方程,得到了期权价格和最佳实施边界的数值逼近结果.数值实验验证了算法的有效性.

Black-Scholes模型； 美式看跌期权； 最佳实施边界

0 引 言

Black-Scholes模型在美式期权定价问题中应用广泛.令S,t,σ,r,q,T和K分别表示原生资产价格、 时间、 原生资产的波动率、 无风险利率、 原生资产的红利率、 期权的到期日和敲定价格,则美式看跌期权[1]P(S,t)满足的Black-Scholes模型为

其中:Z+=max{0,Z};B(t)为美式看跌期权的最佳实施边界,它把美式期权的求解区域分成两部分,如果S≤B(t),则选择实施期权,否则继续持有.

求解Black-Scholes模型下美式看跌期权定价问题目前主要存在以下困难:

1) 求解区域左端的最佳实施边界B(t)是一条未知曲线,求解区域不规则;

2) 求解区域右端无界,无法直接应用数值算法;

3) 给出的算法需要同时确定期权价格P(S,t)和最佳实施边界B(t).

针对1),2),本文采用Front-Fixing变换[2-3]和完全匹配层技巧(PML技巧)[4],将问题(1)化成一个有界规则区域上的抛物问题.对于3),本文采用有限差分法和Newton法交替迭代求解截断后的方程,进而得到期权价格P(S,t)和最佳实施边界B(t).

1 Front-Fixing变换

由于方程(1)是一个变系数方程,因此为简化模型,可通过变量替换

将Black-Scholes方程(1)化为一个常系数方程:

其中:

做Front-Fixing变换

则方程(3)可化为

至此解决了第一个难点,将方程(1)的左边界B(t)化成了x=0的一条直线.注意到,抛物问题(6)是定义在半无穷区域上的,数值求解时需要进行截断.若直接做人工截断,则会导致数值不稳定或数值不精确[4].本文采用PML技巧对无界区域进行截断.

2 PML技巧

下面解决第二个难点.通过PML截断技巧:

问题(6)可化为如下有界规则区域上的抛物问题:

至此解决了第二个难点.Black-Scholes方程(1)已转化为一个有界矩形区域上的抛物问题.该问题可以采用有限差分法[5-7]进行数值求解.

3 数值解法

考虑求解方程(9)的数值方法----有限差分法.对方程(9)采用θ格式的有限差分法进行离散化,为此需引入时间剖分:

空间剖分:

Ih: 0=x0

及差分近似:

方程(9)在点(τm,xn)处对应的θ格式如下：

fm为如下向量:

证明： 由b(τ)的定义可知bm<0.下面先证明系数矩阵A是一个M矩阵.当n=1,2,…,N-1时,

当n=0时,

故系数矩阵A为M矩阵.

下面证明右端fm各项均非负.对于固定的m,

由于

采用Newton法求解非线性方程(10),其中

算法如下：

1)b(0)=bm-1-km-1,1

2) 对于j=1,2,…

③ 如果|bj-b(j-1)|≤ε,令bm=b(j),终止循环;

实际计算时,取b0=Kmin(r/q,1),ε=10-6.

4 数值算例

考虑对美式看跌期权定价问题(1)进行数值模拟,在方程(1)中,令σ=0.2,K=100,T=1,r和q取以下两种情形: 1)r=0.05,q=0.05; 2)r=0.1,q=0.01.

为了验证本文算法得到的数值结果不依赖于θ的选取,对于情形1)和情形2),分别选取不同的θ,数值结果如图1和图2所示.其中:t表示时间;S表示股票价格;P表示期权价格.图1给出了本文算法得到的最佳实施边界与二叉树法[8]最佳实施边界的对比结果.情形1)中取θ=0.5,M=500,N1=1 000,N=1 010,σ0=10,β0=3; 情形2)中取θ=0,M=500,N1=1 000,N=1 010,σ0=10,β0=3； 对于这两种情形,二叉树法中都选取M=1 000.图2给出了两种情形下本文算法得到期权价格的三维图像.由数值结果可见,本文算法能较精确地拟合出最佳实施边界和期权价格.

图1 本文方法和二叉树法计算出的最佳实施边界Fig.1 Optimal exercise boundary of FDM and BM

(A) r=0.05,q=0.05; (B) r=0.1,q=0.01.

[1]ZHU Songping,ZHANG Jin. A New Predictor-Corrector Scheme for Valuing American Puts [J]. Appl Math Comput,2011,217(9): 4439-4452.

[2]Wu L,Kwok Y. A Front-Fixing Finite Difference Method for the Valuation of American Options [J]. J Financial Engineering,1997,6(2): 83-97.

[3]Holmes A D,YANG Hongtao. A Front-Fixing Finite Element Method for the Valuation of American Options [J]. SIAM J Sci Comput,2008,30(4): 2158-2180.

[4]Lantos N,Nataf F. Perfectly Matched Layers for the Heat and Advection-Diffusion Equations [J]. J Comput Phys,2010,229(24): 9042-9052.

[5]Muthuraman K. A Moving Boundary Approach to American Option Pricing [J]. J Economic Dynamics Control,2008,32(11): 3520-3537.

[6]HAN Houde,WU Xiaonan. A Fast Numerical Method for the Black-Scholes Equation of American Options [J]. SIAM J Numer Anal,2004,41(6): 2081-2095.

[7]姜礼尚. 期权定价的数学模型和方法 [M]. 2版. 北京： 高等教育出版社,2008: 170-191. (JIANG Lishang. Mathematical Modeling and Methods of Option Pricing [M]. 2nd ed. Beijing: Higher Education Press,2008: 170-191.)

[8]Barone-Adesi G,Whaley R E. Efficient Analytic Approximation of American Option Values [J]. J Finance,1987,42(2): 301-320.

(责任编辑： 赵立芹)

FiniteDifferenceMethodforSolvingAmericanPutOptionundertheBlack-ScholesModel

LI Jingshi,WANG Zhiyu,ZHU Benxi,SONG Haiming
(CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

This paper deals with the American put option pricing problem governed by the Black-Scholes equation.Applying finite difference method coupled with Newton’s method to solve the Black-Scholes equation,we can get the numerical approximations of the option price and the optimal exercise boundary simultaneously.Numerical experiments verify the efficiency of the method.

Black-Scholes model; American put option; optimal exercise boundary

2013-09-26.

李景诗(1990—),女,汉族,硕士研究生,从事随机偏微分方程数值解的研究,E-mail: jsli12@mails.jlu.edu.cn.通信作者: 朱本喜(1979—),女,土家族,硕士,讲师,从事随机偏微分方程数值解的研究,E-mail: zhubx@jlu.edu.cn.

国家自然科学基金(批准号: 11271157).

O241.8

A

1671-5489(2014)05-0949-05