李 喆,孙 艳

(长春理工大学 理学院,长春 130022)

Cartesian点集Lagrange投影算子的误差公式

李 喆,孙 艳

(长春理工大学 理学院,长春 130022)

考虑多元插值问题的插值余项估计问题.针对好误差公式的概念,给出了推广好误差公式的概念,并以三维Cartesian点集为例,利用B样条与差商的关系给出Cartesian点集Lagrange插值误差公式的积分形式.该结果可以推广到d维空间中.

Cartesian点集; Lagrange投影算子; 误差公式

0 引 言

令F表示特征为零的数域,F[x]∶=F[x1,…,xd]表示数域F上的d元多项式环.理想投影算子为定义在F[x]上,核为理想的线性幂零算子[1-3].该理想由所有满足齐次插值条件的多项式集合构成,理想插值包含了Lagrange和Hermite插值.Lagrange插值对应的算子称为Lagrange投影算子.当理想投影算子的核空间为某一有限互异点集Ξ⊂Fd上的消逝理想时,该理想投影算子为Lagrange投影算子.Lagrange投影算子对应的插值问题是Lagrange插值.Hermite投影算子定义为一列Lagrange投影算子的逐点极限形式[4],其对应的插值问题是Hermite插值.特别地,插值条件仅与方向导数有关的插值问题属于Hermite插值.

在多元情形中,人们期望理想投影算子也具有与一元情形结构相同的误差公式.为此,Boor[2]提出了理想投影算子好误差公式的概念,并证明了张量积节点和满足GC条件节点的Lagrange投影算子具有好误差公式[10].但Shekhtman[11]证明了一个非常简单的二元理想投影算子不具有好误差公式.所以,Shekhtman相信大多数理想投影算子不具有好误差公式.Cartesian点集是一类具有特殊几何结构的点集,其消逝理想具有唯一的单项商环基底[12].本文推广了好误差公式的概念,利用B样条与差商的关系给出三维Cartesian点集的Lagrange投影算子Newton型插值公式及误差公式的形式,该结果可推广到d维Cartesian点集.

1 预备知识

设P为d元多项式环F[x]上的理想投影算子,则P的像空间和核空间分别为

其中: ranP构成F[x]的一个有限维子空间; KerP构成F[x]的一个理想.

定义1[2]设P为理想投影算子,{h1,…,hm}为核空间KerP的理想基.若存在齐次多项式Hj和线性算子Cj: F[x]→F[x](j=1,2,…,m),使得对任何f∈F[x],都有

Hj(D)hk=δj,k, ∀j,k=1,2,…,m,

且

则称理想基{h1,…,hm}支撑好误差公式.

定义2[13-14]有限互异节点集合Ξ⊂Fd称为Cartesian点集当且仅当存在lower集A⊂d和单射函数yi:→F(i=1,2,…,d),使得Ξ可以表示为

其中对固定的i及其所有可能的αi,ξi,αi是互不相同的.Ξ也称为A-Cartesian点集.

2 主要结果

设Ξ⊂F3为A-Cartesian点集,其中

定义mk∶=nk(mk-1,…,m1),其中k=2,3.不失一般性,假设ξj,0≤…≤ξj,vj,其中0≤v1≤m1,0≤v2≤m2,0≤v3≤m3.定义多项式

定义F[x1,x2,x3]上的线性算子:

式中被积函数为F[x1,x2,x3]上的多项式,故C1,C2,v1,C3,v1,v2是从F[x1,x2,x3]到F[x1,x2,x3]上的线性算子.对于函数f(x1,x2,x3),视x2,x3为固定值,可得关于变量x1的一元差商:

再视上述差商中的x3为固定,可得关于变量x1,x2的二元差商:

最后可得关于变量x1,x2,x3的三元差商:

命题1[13]设P为三维A-Cartesian点集Ξ上的Lagrange投影算子,其中A由式(2)定义.则

构成KerP的理想基.

命题2

证明: 任取0≤i1≤v1,将f(x1,x2,x3)在ξ1,i1处关于变量x1进行Taylor展开,有

由于

故

因此

而

由式(3)可证式(7)成立.任取0≤i2≤v2,将f(ξ1,i1,x2,x3)在ξ2,i2处关于变量x2进行Taylor展开,有

将式(13)代入式(10)可得

由式(4),(12),可证式(8)成立.任取0≤i3≤v3,将f(ξ1,i1,ξ2,i2,x3)在ξ3,i3处关于变量x3进行Taylor展开,有

将式(15),(13)代入式(10)可得

由式(5),(12),可证式(9)成立.证毕.

定理1设P为三维A-Cartesian点集Ξ上的Lagrange投影算子,则理想基H,齐次多项式H1,H2,v1,H3,v1,v2和线性算子C1,C2,v1,C3,v1,v2满足条件:

且对任何f∈F[x1,x2,x3],有

其中: 0≤v1≤m1; 0≤v2≤n2(v1).

证明: 式(17)可直接验证.根据一元Newton插值公式有

并且

综上,A-Cartesian点集Ξ上的Lagrange投影算子,其Newton型插值公式为

误差公式为

由命题2可证式(18)成立.证毕.

注1定理1中构造误差公式的方法是形式化的,与维数无关,所以定理1的结果可直接推广到d维空间.

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(责任编辑： 赵立芹)

ErrorFormulasofLagrangeProjectorsforCartesianPointSets

LI Zhe,SUN Yan
(CollegeofScience,ChangchunUniversityofScienceandTechnology,Changchun130022,China)

This paper generalized good error formulas and considered Lagrange interpolation for Cartesian point sets.Taking 3-dimension Cartesian point sets for example,we provided the integral form of error formulas for this class of interpolation problem using the relationship between the B-spline and finite difference quotient.The results can be generalized in thed-dimensional Cartesian point sets.

Cartesian point sets; Lagrange projectors; error formulas

2014-01-24.

李 喆(1981—),女,汉族,博士,讲师,从事符号计算及符号数值混合计算的研究,E-mail: zheli200809@163.com.通信作者: 孙 艳(1964—),女,汉族,副教授,从事常微分方程及其数值计算的研究,E-mail: sunyancust@163.com.

国家自然科学基金(批准号: 11171133)和数学天元基金(批准号: 11326209).

O241.3

A

1671-5489(2014)05-0911-05