高 扬，杨智春，谷迎松

(西北工业大学 航空学院，西安 710072)

壁板颤振是高超音速飞行器壁板结构在空气动力、惯性力和弹性力的相互耦合作用下产生的一种气动弹性不稳定现象，是一种自激振动。影响壁板颤振的因素有很多，比如材料、边界条件、几何尺寸和气流偏角等，国内在这些方面已经开展了一系列研究。苑凯华等[1]建立了考虑热效应的复合材料壁板颤振的非线性有限元模型，计算了壁板的颤振临界速压并分析了其非线性颤振特性。叶献辉等[2]用迦辽金方法建立了三维壁板热环境下颤振方程，分析讨论了两种温度分布和几何尺寸对系统稳定性的影响。周秀芳等[3]研究了超音速气流中二维壁板的热颤振，将wash out 滤波器技术与Normal Form直接法相结合，设计了控制器的线性、非线性增益，有效地降低了颤振极限环的幅值。杨超等[4]建立了气动热、气动弹性双向耦合高超音速二维曲面壁板颤振分析方法。杨智春等[5-6]建立了考虑热效应的复合材料壁板颤振分析模型，给出了频域和时域的颤振方程求解方法，结果表明在超音速的壁板颤振分析中必须考虑热效应的影响，且壁板形状也是影响颤振边界的一个重要因素，并提出了一种分步求解的方法进行了复合材料壁板的热颤振分析，结果指出铺层方式是影响壁板颤振临界速度的一个重要的可设计因素。

然而，目前研究的壁板颤振问题都是针对矩形壁板的，对于其他形状壁板还鲜有研究。相同面积下采用其他形状壁板是否会带来更好的颤振特性还是一个未知的问题，因此研究其他形状壁板的颤振特性对高超音速飞行器的防颤振设计有重要意义。对于飞行器来说，由于偏航角的存在，气流方向并不总是沿飞行器轴线方向，因此气流偏角也是影响壁板颤振特性的重要因素。上世纪六十年代末和七十年代初，气流偏角对超音速气流中各向同性材料和正交各向异性材料矩形板颤振临界速压的影响得到了研究。Korders等[7]和Bohon[8]研究了任意气流偏角对简支边界条件下各向同性材料和正交各向异性材料矩形板颤振特性的影响。Durvasula[9-10]应用瑞利-李兹法分别研究了简支边界和固支边界下气流偏角对矩形各向同性材料壁板颤振临界速压的影响。Kariappa等[11]和Sander等[12]应用有限元方法(FEM)研究了气流偏角对于各向同性材料平行四边形壁板颤振的影响。Shyprykevich等[13]和Sawyer[14]从理论和实验方面研究了颤振临界速压对气流偏角和柔性支持边界的依赖性。Cheng等[15]用有限元方法研究了气流偏角和热载荷共同作用下矩形壁板的稳定性边界问题。王晓庆等[16]建立了考虑气流偏角的壁板热颤振方程，进行了不同气流偏角下的壁板热颤振分析及多目标优化设计。同矩形壁板一样，气流偏角对不同形状壁板颤振特性也会产生影响，因此，本文在进行不同形状复合材料壁板的颤振特性研究时同时考察了气流偏角和热载荷的影响。

本文首先建立了同时考虑气流偏角和热载荷影响的层合复合材料壁板颤振分析的有限元模型，应用分步求解复合材料壁板热颤振速度的方法，针对面积相同而形状不同的壁板进行了颤振分析，考察了气流偏角对不同形状壁板热颤振特性的影响。

1 考虑气流偏角的复合材料壁板热颤振有限元模型

在壁板的热颤振分析中通常采用三个简化假设：①壁板结构的变形不影响温度场；②颤振响应的时间尺度远小于温度变化的时间尺度，因此在壁板的热颤振分析中可以将温度场看作是稳态的；③在温升不太高的情况下忽略温度对材料特性的影响。

考虑复合材料层合壁板的热颤振问题，由von Karman非线性应变位移关系，壁板总应变为中面位移产生的应变、考虑大变形时挠度引起的面内附加应变和弯曲产生的应变的和：

(1)

横向剪切应变为

(2)

其中，u0，v0，w0为中面位移，θx和θy为中面分别绕x轴和y轴的转角。

令ε0=εm+εmb，则层数为NL的复合材料层合板的内力表达式可写为：

(3)

其中

(4)

假设气流平行于壁板表面，流速为V，气流方向与x轴的夹角为Λ，考虑气流偏角的一阶活塞理论的气动力表达式[15]为

pa=p∞-p=

(5)

根据虚功原理可以得到考虑气流偏角的复合材料壁板热颤振有限元方程：

(6)

式中mb为质量矩阵,ca，ka分别为气动阻尼矩阵和气动刚度矩阵，kb，km，kbm，αsks组成了小变形下的弹性刚度矩阵,kNm为面内位移在板弯曲自由度上产生的附加刚度，kΔT为热应变产生的附加刚度，PmΔT，PbΔT为温度场引起的载荷。

对于具有对称铺层的复合材料壁板，有kbm=0，当温升沿板的厚度方向均匀分布时，有PbΔT=0。

因而，式(6)可以写成解耦的形式

(7)

式(7)是由一个静力学方程和一个动力学方程组成的。本文采用一种分步求解的方法[5]，即先求解壁板面内的结点位移wm，进而获得面内附加刚度kNm和热附加刚度kΔT，第二步将第一步求解得到的热效应刚度kNm-kΔT带入动力学方程中，就能够对定常温度场下壁板的颤振特性进行分析。

2 考虑气流偏角的复合材料壁板热颤振分析

为了验证本文考虑气流偏角热颤振分析方法的有效性，针对文献[14]中给出的壁板热颤振分析算例，求解其颤振边界，并与其结果进行对比。算例中矩形复合材料壁板的几何尺寸为38.1×30.5×0.122cm，边界条件为四边固支，气流偏角分别为Λ=0°,15°,30°,45°。

为了直接与参考文献[14]的结果进行对比，对壁板温升进行了无量纲化处理，即以壁板的绝对温升值ΔT与壁板屈曲温升ΔTcr的比ΔT/ΔTcr来度量壁板的温升。同时对壁板的颤振速压进行无量纲化处理，无量纲速压定义为：

(8)

式中q=ρv2/2，D110是复合材料的铺层角度全部为零时弯曲刚度的第一项。

求解出该壁板无量纲颤振临界速压随无量纲温升的变化关系与文献[14]的结果对比如图1所示。

图1 本文结果与参考文献[14]的对比

由图1可见，本文计算所得无量纲颤振临界速压随无量纲温升的变化趋势与参考文献[14]完全一致，且误差在3%以下，可见本文分析方法对壁板屈曲温度以下考虑气流偏角的热颤振分析有着较高的准确性。

3 气流偏角对不同形状壁板热颤振特性的影响

本节研究如图2所示具有相同面积的矩形壁板、梯形壁板和三角形壁板的热颤振特性。壁板厚度均为0.762 mm，铺层方式为[0/45-45/90]s，由石墨/环氧材料制成，材料主方向沿x轴正方向，材料的性能参数见表1。边界约束方式为周边固支。气流方向与x轴正方向夹角为气流偏角，逆时针为正。

表1 石墨/环氧材料的力学性能参数表

图2 面积相等的矩形壁板、梯形壁板和三角形壁板

图3 不同形状壁板颤振临界速压随温升变化

图4 不同形状壁板颤振临界速压随气流偏角变化

不同温升下三种不同形状壁板的颤振临界速压随气流偏角Λ的变化情况如图4所示。

(3)在气流偏角Λ=0°～180°的变化范围内，相同温升下，三角形壁板的颤振临界速压高于梯形壁板，梯形壁板高于矩形壁板。

图5 不同形状壁板气动弹性模态频率随气流偏角变化规律

由图5可见，三块不同形状壁板第一阶气动弹性模态的频率在气流偏角Λ=0°～90°和Λ=90°～180°的变化范围内随着气流偏角的增大先减小再增大，在气流偏角为Λ=5°～10°时和Λ=170°～175°时分别达到最小值，在气流偏角为Λ=90°时达到最大值。第二阶气动弹性模态的频率随着气流偏角的增大先减小后增大，当气流偏角为Λ=90°时达到最小值。由图可见，三块不同形状壁板的前两阶气动弹性模态的频率差在气流偏角为Λ=0°～90°和Λ=90°～180°的变化范围内随着气流偏角的增大先减小再增大，在气流偏角为Λ=5°～10°时和Λ=170°～175°时分别达到最大值，在气流偏角为Λ=90°时达到最小值。由于三块不同形状壁板的颤振都是由其第一阶和第二阶气动弹性模态发生耦合而产生的，根据颤振频率重合理论，发生耦合的这两阶模态的频率越接近，颤振越容易发生。由此可以解释在图4中Λ=5°～10°时和Λ=170°～175°时三块壁板的颤振速度达到极大值的原因。

4 结 论

本文建立了同时考虑气流偏角和热载荷影响的颤振分析有限元模型，通过对三块面积相同形状不同的复合材料壁板进行颤振分析，得到了三块复合材料壁板的颤振临界速压随气流偏角和温升变化的曲线，研究表明：

(1)气流偏角为零时，不同形状壁板的颤振临界速压随温升的升高而近似呈线性下降；在不同温升时三角形壁板的颤振临界速压高于梯形壁板，梯形壁板高于矩形壁板，且温升对三角形壁板颤振速压的影响最大，对梯形壁板的影响最小。

(2)在气流偏角Λ=0°～90°和Λ=90°～180°的变化范围内，矩形壁板、梯形壁板和三角形壁板的颤振临界速压都呈现出先增大后减小的规律，且在气流偏角为Λ=5°～10°和Λ=170°～175°时都分别达到最大值，在气流偏角为Λ=90°时达到最小值。

(3)在所考察的气流偏角情况下，三角形壁板的颤振临界速压高于梯形壁板，梯形壁板高于矩形壁板。

对于面积相同形状不同的复合材料壁板，热载荷和气流偏角对颤振边界的影响不同。热载荷降低了壁板的颤振临界速压，不同的气流偏角对壁板有不同的影响，若结合壁板形状的可设计性进行颤振优化设计，则可有效提高壁板的颤振临界速压，改善复合材料壁板的热颤振特性。

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