吕书强+++蔡春+++马青华

【 摘 要 】 本文根据KdV方程的Hamilton系统，构造并证明了组合KdV方程的Hamilton系统。

【 关键词 】 组合KdV方程；Hmailton算子；Hmailton系统

1 引言

KdV和mKdV 方程是发现最早且最具代表性的非线性发展方程，在数学、物理、工程等领域，都有十分重要的应用前景。近些年来，对它们的可积性质的研究不断增多，得到一些结论。

本文考虑组合KdV方程

ut = δuxxx+auux+bu2ux （δ，a，b为实常数）

它可看作一维非线性晶格传播波的模型，也可作为流体力学中的一个模型方程，组合KdV方程是KdV和mKdV方程的复合，既包含有非线性效应，又包含频散作用。

对于组合KdV方程，已经得到了一些精确解。下面讨论它的Hmailton系统。

19世纪20年代Hmailton在描述几何学时发现了Hmailton系统，成为力学上与Lagrange力学等价的又一种力学描述方式。由于这类系统广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学的各个领域，特别是天体力学、航天科学以及生物工程中的很多模型都以Hmailton系统（或它的扰动系统）的形式出现，因此该领域的研究多年来成为人们关注的研究方向。

2 相关的定义及定理

定义1 对任意函数f（t，x，u），g（t，x，u），定义内积

=f（t，x，u）g（t，x，u）dx

定理1 线性算子D：Am→Am为Hmailton算子，若其满足：

（ⅰ）反对称性：D*=-D ；

（ⅱ）Jacobi恒等式：++=0，p，q，r为任意向量函数。

定义2 一对算子D1，D2称相容的，若它们的线性组合aD1+bD2也是Hmailton算子，a，b为任意常数。

定义3 若非线性演化方程ut=K（u），K（u） ∈Am

可以表示成ut=D

其中D是Hmailton算子，是泛函∈的变分导数，则称其为一个Hmailton系统。

定义4 若非线性演化方程ut=K（u），K（u） ∈Am

可以表示成ut=K（u）=D1=D2

其中1，2为相应的Hmailton泛函，而且D1，D2为相容的Hmailton算子对，则称其具有双Hmailton系统。

定理2 若H（u）∈F，且H'=（H'）*，则

H=， =dλ

其中是微分函数的全体，H是Hmailton函数，H'是H的Frechét导数，（H'）*是H的共轭。……