谢晓华

(河南林业职业学院 基础部，河南 洛阳471002）

1 预备知识

定义1.2：集合S 的一个二元关系“～” 称为等价关系，若满足ⅰ）反身性：x～xⅱ）对称性：若x～y 则y～xⅲ）传递性：若x～y，y～z 则z～x。

定理1.1：集合S 的一个分类必决定S 的一个等价关系。

定理1.2：集合S 的一个等价关系必决定S 的一个分类。

（2）只需证：若Sx∩Sy≠Ø 则Sx=Sy，设z∈Sx∩Sy，则z～x，z～y 由等价关系的对称性和传递性得x～y， 所以对任意的a∈Sx，a～x，x～y 所以a～y 即a∈Sy所以Sx⊆Sy，同理可证Sy⊆Sx所以Sx=Sy。

2 矩阵的等价关系

2.1 矩阵的相抵关系

定义2.1：如果矩阵A 经过有限次的初等变换后得到矩阵B，那么称A 与B 是相抵的。

定理2.1： 任意两个矩阵A、B 相抵的充分必要条件是：1）A、B 同型且秩相等；2）存在可逆阵P 和Q 使得PAQ=B。

也就是说，任意一个秩为r 的m×n 矩阵A 都相抵与形如的矩阵，这种结构简单的矩阵称为A 的相抵标准型，秩r 为相抵关系下的全系不变量。 即两个同型矩阵相抵的本质是具有相同的秩。

2.2 矩阵的相似关系

定义2.2：对于n 阶方阵A、B，若存在一个可逆阵P,使得P-1AP=B，则称A 与B 相似。

由定义可得A 通过相似变换变为B 需要很强的约束条件： 两边乘的矩阵要互逆，所以要通过引入λ-矩阵除去其约束条件，将A 与B的相似转换为λI-A 与λI-B 的相抵来研究， 即通过相抵标准型来研究数字矩阵A 与B 的相似。

定理2.2

（1）A 与B 相似⇔矩阵A 能够经过相似变换变成矩阵B

⇔,A 与B 是同阶方阵且它们有相同的不变因子组

即矩阵相似关系下的全系不变量是不变因子组。

也就是说秩相等是矩阵相似的必要条件，两个同阶方阵相似的本质是它们有相同的不变因子组。

相似矩阵的性质： 矩阵相似，则它们的秩相等，迹相等，行列式相等，特征值相等，特征多项式也相等；……