王娴，佟慧

(河北大学 数学与计算机学院，河北 保定 071002)

1 预备知识

变分包含是经典变分不等式的一个重要推广，在许多领域(例如:物理学、最优控制、非线性规划、经济与工程学)中都有着广泛的应用．因此，近年来，变分问题被诸多学者研究．

Verma发展了Eckstein-Bertsekas的关于A-极大单调算子[1]和(A,η)-极大单调算子[2]的混合逼近点算法．这些结论推广了单值的极大单调算子，包含了文献[3]中在Hilbert空间中关于H-极大单调算子的结论．目前，关于(A,η)-极大单调算子的广义预解算法也已被介绍和研究．本文中，将文献[4]结果推广到了Banach空间，它和其他在Hilbert空间中讨论的结果不同，这样所得到的关于变分包含的结论就可以应用到Lp，Wm,p(Ω)空间中去．

设X是实的Banach空间，X*是其对偶空间，‖·‖表示X上的范数，〈·,·〉表示X和X*之间的配对，2X表示X的一切非空子集族．

广义对偶映射Jq(x):X→2X定义为

Jq(x)={f*∈X*:〈x,f*〉=‖x‖p,‖f*‖=‖x‖q-1}，q>1．

特别地，J2为正规对偶映射．众所周知，Jq=‖x‖q-2J2，∀x∈X．若X*为严格凸的，则Jq(x)为单值的．

引理1[5]设X为一致光滑的实Banach空间，则X为q-一致光滑的当且仅当存在常数cq>0使得

‖x+y‖q≤‖x‖q+q〈y,Jq(x)〉+cq‖y‖q,∀x，y∈X．

(1)

定义1[6]设M：X→2X*为多值算子，H:X→X*，η:X×X→X为单值算子，

1)称X为单调的，如果〈x-y,u-v〉≥0，∀u,v∈X,x∈Mu,y∈Mv．

2)称M为η-单调的，如果〈x-y,η(u,v)〉≥0，∀u,v∈X,x∈Mu,y∈Mv．

3)称M为η-强单调的，如果存在某个常数r>0使得〈x-y,η(u,v)〉≥r‖u-v‖2，∀u,v∈X,x∈Mu,y∈Mv．

4)称M为m-松弛-η-单调的，如果存在某个常数m>0使得〈x-y,η(u,v)〉≥-m‖u-v‖2，∀u,v∈X,x∈Mu,y∈Mv．

5)称M为H-单调的，若M是单调的且对任何λ>0,(H+λM)X=X*．

6)称M为(H,η)-单调的，若M是η-单调的且对任何λ>0，(H+λM)X=X*．

7)称M为H-η-单调的，若M为m-松弛-η-单调的且对任何λ>0，(H+λM)X=X*．(在文献[4]和[11]中H-η-单调算子被称为(H,η)单调算子)．

注1 在文献[7]中首先介绍了η-单调算子，H-单调算子和(H,η)-单调算子，[8]中又介绍了H-η-单调算子．显然，H-η-单调算子是(H,η)-单调算子的推广．

定义3[9……