张丽娟，佟慧

(河北大学 数学与计算机学院，河北 保定 071002)

1 预备知识

变分不等式是由Stampacchia[1]在1964年导出的，在工业生产、金融学、社会学等方面有广泛应用，变分不等式理论成为重要的数学分支，它的理论和方法仍在不断发展和创新，许多数学家和工程技术人员都对此问题进行研究[1-9].近来Noor[3]考虑了多个不同非线性算子的变分不等式组，利用投影算子方法，提出并分析迭代算法，在适当的条件下证明迭代序列的收敛性.本文主要是在Banach空间下讨论多个不同非线性算子的变分不等式组，得到的结果能够运用到Lp,Wm,p(p>1)等更为广泛的空间.

设B是实Banach空间，B*是它的对偶空间，〈.,.〉是B和B*的偶对(泛函的取值)，2B记为B的子集全体.广义对偶映射Jq(x):B→2B*定义为

Jq(x) = {f*∈B*:〈x,f*〉=‖x‖q,‖f*‖=‖x‖q-1},

q>1是常数.J2称为正规对偶映射，对所有的x∈B，Jq=‖x‖q-2J2.当空间B*是严格凸时,Jq(x)是单值的.假设空间B*是严格凸的，则Jq(x)是单值的.记J2=J,若B=H是Hilbert空间，J2=I是H上的恒等映射.

设C是B的非空闭凸子集.映射Q:B→C称为向阳的，如果

Q(Qx+t(x-Qx))=Qx,∀x∈B,∀t≥0,

映射Q:B→C称为保核的,如果对x∈C有x=Qx.若B是光滑的，则B映为C的向阳非扩张保核映射是唯一确定的.

引理1[10]设B是实光滑的Banach空间,C是B的非空闭凸子集.设QC:B→C是保核的,J,Jq是B上的正规对偶映射和广义对偶映射，则以下结论等价：

a)QC是向阳非扩张的.

b)‖QCx-QCy‖2≤〈x-y,J(QCx-QCy)〉,∀x,y∈B.

c)〈x-QCx,Jq(QCx-y)〉≥ 0,∀y∈C,x∈B.

(1)

引理2[11]设B是实q(q>1)一致光滑的Banach空间,则存在常数cq>0,使得

‖x+y‖q≤‖x‖q+q〈y,Jqx〉+cq‖y‖q,∀x,y∈B.

特别的，B是2-一致光滑的Banach空间，则存在常数c2>0,使得

‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,Jx〉+c2‖y‖2,∀x,y∈B.

设C是B的非空闭凸子集，Ti:C×C→B,fi:C→B,gi:C→C,i=1,2是给定的非线性映射，考虑变分问题：求点(x*,y*)∈C×C,使得

〈π1T1(y*,x*)+g1(x*)-f1(y*),Jq(x-g1(x*))〉≥0,∀x∈C,π1>0;

(2)

〈π2T2(x*,y*)+g2(y*)-f2(x*),Jq(x-g2(y*))〉≥0,∀x∈C,π2>0.

(3)

这个问题称为广义变分不等式组，其中π1和π2是2个参数，它在研究迭代法的收敛性分析时起……