李俊华, 李海军

(1.河北大学 数学与计算机学院,河北 保定 071002;2.中国地质大学 长城学院,河北 保定 071000)

统计学习理论(SLT)是由Vapnik等[1-2]于20世纪60年代提出的一种针对小样本情况研究统计学习规律的理论, 被认为是处理小样本学习问题的最佳理论. SLT是建立在概率空间上基于实随机样本的, 而概率测度是一个满足可加性的非负集函数, 由于可加性条件非常苛刻, 在现实应用中往往得不到满足, 同时注意到现实中还存在大量的非实(复)随机样本, 因此建立非概率空间上和基于非实随机样本的学习理论就成为了新的研究方向, 许多学者已经开始了该方向的研究并取得了一些重要成果[3-8]. 其次, 对 SLT 的研究多是在较为理想的情况下进行的, 即假设样本不受外界的干扰. 但由于人为、 环境等诸多因素的影响, 这种假设往往得不到满足. 在诸多影响因素中, 研究较多的是噪声[9-10]. 基于上述考虑, 提出并证明了在一类非可加测度空间——机会空间上受噪声影响的复 hybrid 样本的学习理论的关键定理, 为进一步研究机会空间上的 SLT奠定了理论基础.

1 预备知识

定义1[11]设(Θ,P,Cr)是可信性空间，(Ω，A，Pr)是概率空间，则(Θ,P,Cr)×(Ω,A,Pr)称为机会空间.

定义2[11]设(Θ,P,Cr)×(Ω，A，Pr)是机会空间.若Λ⊂Θ×Ω满足：对任意θ∈Θ，都有Λ(θ)∈A，称Λ为一个事件.

定义3[11]设(Θ,P,Cr)×(Ω，A，Pr)是机会空间.事件Λ的机会测度定义为：

性质1[11]设(Θ,P,Cr)×(Ω，A，Pr)是机会空间，则机会测度Ch满足以下性质：

1)Ch{∅}=0，Ch{Θ×Ω}=1；

2)对任意事件Λ，有0≤Ch{Λ}≤1；

3)若事件Λ1⊆Λ2，则Ch{Λ1}≤Ch{Λ2}；

4)对任意事件Λ，有Ch{Λ}+Ch{Λc}=1；

5)对任意事件Λ1和Λ2，有Ch{Λ1∪Λ2}≤Ch{Λ1}+Ch{Λ2}.

定义4[11]设ξ是一个从机会空间(Θ,P,Cr)×(Ω,A,Pr)到实数集R的可测函数，若对任……