雷 雨，赵丹宁

(1. 中国科学院国家授时中心，陕西 西安 710600； 2. 中国科学院时间频率基准重点实验室，陕西 西安 710600；3. 中国科学院大学，北京 100049； 4. 中国科学院精密导航定位与定时技术重点实验室，陕西 西安 710600)

一、引 言

随着人们对卫星导航与定位精度要求的提高，卫星钟差的预报成为一项非常重要的工作。星载原子钟频率高且异常敏感，极易受到外界及其自身因素的影响，其复杂细致的变化规律也很难掌握，因此建立精确的原子钟运行模型非常困难，准确预报卫星钟差也非常困难。为此相继发展了多种钟差预报模型，如二次多项式模型[1-2]、灰色系统模型[3-4]、ARIMA时间序列模型[5]和人工神经网络(artificial neural network, ANN)模型[6]。这些模型各有优缺点和适用范围，如二次多项式模型以时间为变量，用历史钟差数据进行拟合确定各项系数，进而对钟差作外推预报，其优点在于可利用较长的以往数据进行充分拟合，缺点是预报误差会随时间的增加而不断增大；灰色系统模型可基于较少的历史数据(4个以上)建模进行预报，但该模型要求钟差数据呈指数规律变化，限定了其应用范围。实际上，用任何一种事先建立的数学模型来预报钟差，其精度都是有限的，原因之一就是星载原子钟运行的物理特性很难用数学模型准确表达，导致每一种方法在应用上都有其局限性。为了充分利用每种方法的优点，可以综合各种方法的预报结果[7]。为此本文探讨3种综合单一模型的钟差预报结果的方法。

二、综合预报卫星钟差的方法

1. 经典权方法

对于线性组合模型，如何确定模型的加权系数是一个关键问题，常用的方法是根据方差倒数定权。线性组合模型的定义为

(1)

经典权方法根据方差倒数定权

(2)

2. 有效度权方法

预报有效度指标以预报精度反映预报方法的有效性，其思想如下：

预报方法的有效度定义为[8]

Sj=Ej(1-σj)j=1,2,…,m

(4)

(5)

3. 最小二乘支持向量机回归方法

(1) 最小二乘支持向量机回归原理

支持向量机(SVM)是在统计学习理论基础上发展起来的一种新的机器学习方法，可以解决分类和回归问题。与基于传统经验风险最小化原理的人工神经网络不同，SVM通过结构风险最小化原理来提高泛化能力，较好地解决了小样本、非线性、高维数和局部极小点等实际问题[9]。最小二乘支持向量机(LSSVM)是在标准SVM上的一种扩展，其与标准SVM相比，提高了收敛速度，降低了复杂性[10]。

f(x)=wTφ(x)+b

(6)

式中，w为权值矢量；b为偏置。

标准SVM采用ε不敏感损失函数，LSSVM选择误差ξi的二次项，优化问题为

(7)

式中，ξi表示误差；C为容错惩罚因子。

根据约束非线性规划理论，求解上式可得方程

(9)

式中，核函数K(x,xi)为满足Mercer条件的任意对称函数。

与标准SVM相比，LSSVM回归只需要确定核参数和惩罚因子，而不需要确定不敏感损失函数的值，这不仅简化了计算，也便于实际应用。

(2) 最小二乘支持向量机回归方法实现

三、算例与分析

1. 数据来源

从http:∥igscb.jpl.nasa.gov/components/prods.html网站上下载了2011年5月22日至23日共2天的IGS精密钟差数据，其采样间隔为5 min。考虑到目前在轨GPS卫星有30多颗，限于篇幅，从现有的4种类型卫星钟中各选一颗，分别是PRN02(IIR Rb)、PRN03(IIA Cs)、PRN09(IIA Rb)和PRN17(IIR-M Rb)卫星。

2. 建模方案

算例中先用5月22日1天的精密钟差来拟合二次多项式的模型系数，而用22日最后24个历元，即最后2 h的精密钟差来建立灰色系统模型，然后分别利用两种模型预报未来72个历元(时长为6 h)的钟差值。对于这72个样本来说，既有观测值，又有两种模型的预报值，因此可以构建综合预报模型。值得一提的是，对于LSSVM模型，输入为两种单一模型的预报结果，输出为观测值，核函数分别选用RBF核函数、线性核函数和多项式核函数。

3. 数值结果

利用建立的综合预报模型进行6 h跨度的预报，为便于比较，图1—图4和表1分别给出了二次多项式模型、灰色系统模型、经典权法、有效度权法和LSSVM法的预报残差序列和残差的统计特性。需要说明的是，RBF核函数和多项式核函数的预报误差非常大，因此选取线性核函数预报。

结合图1—图4，分析表1可以看出，这3种组合方法都能有效地综合单一预报结果，预报精度也大体相当；与单一模型相比，综合预报的精度并非最高。这里有必要解释一下，综合预报的目标是在保障预报可靠性的基础上提高预报精度，避免当单一模型预报误差较大时给卫星导航与定位所带来的致命影响，这就要求综合预报结果不能是劣组合，即综合预报的误差不能大于由单一模型预报得到的最大误差。从表1中可以明显看出，综合预报的最大误差明显小于由单一模型预报得到的最大误差，有时甚至小于任意一种单一模型的最大值，这对保证导航与定位可靠性，以及提高定位精度具有非常重要的意义。算例中，3种方法可以出现非劣组合也可以出现优组合(综合预报的误差小于任意一种单一预报得到的误差)。对于3种综合方法的具体特征总结如下。

图1 02号卫星钟差预报残差序列

图2 03号卫星钟差预报残差序列

图3 09号卫星钟差预报残差序列

图4 17号卫星钟差预报残差序列

表1 残差序列的统计特性 ns

1) 经典权方法简单且容易理解，它是基于残差序列的误差平方和而建立起来的，这就要求参与综合预报的单一方法的误差能保持稳定，但对于卫星钟差预报而言，单一预报结果的误差往往是非均匀性的，因而这种综合方法存在不足。

2) 有效度权预报结果的统计指标优于经典权方法，说明该方法综合效果好。有效度权法综合考虑了单项方法预报精度序列的均值及离散程度(稳定性)，较好地刻画了预报模型的精度特征，因此求得的权系数比经典权求得的权系数更优，预报效果也就更佳。需要指出的是，经典权方法和有效度权方法都属于线性组合模型，这种方法是单一方法的凸组合，如果不满足这一条件，往往会带来较大的误差[9]。

3) 3种综合方法中，采用LSSVM回归方法得到的预报误差最小。究其原因，LSSVM能以一种非线性方式综合二次多项式和灰色系统两种模型的预报结果，LSSVM回归综合预报模型是对各单一模型的预报结果进行拟合后通过统计学习建立模型，从而继承了各单一模型的有用信息，有助于提高预报精度。然而，采用LSSVM方法需要确定核函数类型及其参数，尤其参数的选取对其性能有较大影响。但目前关于如何选取合适的参数并没有明确的指导原则，一般根据经验事先确定，这就给模型带来了较大的任意性。欲进一步提高LSSVM综合方法的预报质量，需要对惩罚因子等参数的优化选取进行深入的研究。

四、结 论

1) 3种综合方法都能有效地融合单一模型的预报结果，当然前提是每种模型都是可用的，也是有效的。相对于单一模型，综合预报模型具有较好的可靠性，综合结果至少是非劣组合，有时还会是优组合。

2) 与LSSVM方法比较而言，经典权方法和有效度权方法简单且容易理解，易于实现。其中，经典权方法只考虑了误差的平方和，没有考虑各个误差的特点；而有效度权方法同时顾及了误差的均值和离散程度，因此求得的权系数更优。

3) LSSVM具有较强的非线性映射能力，泛化能力也强，在小样本情况下仍能获得可靠结果，但该方法计算相对复杂些，同时参数的确定受人为主观因素的影响，具有很大的任意性。

4) 3种综合方法可适用于完全不同的预报方法(ARIMA模型、Kalman滤波和人工神经网络等)的组合预报。

参考文献：

[1] 郑作亚，卢秀山.几种GPS卫星钟差预报方法比较及精度分析[J].山东科技大学学报：自然科学版，2008，27(4)：6-11，15.

[2] 刘晓刚，吴晓平，赵润，等.几种时间预报模型的钟差长期预报效果分析[J].测绘通报，2011(1)：15-17，48.

[3] 崔先强，焦文海.灰色系统模型在卫星钟差预报中的应用[J].武汉大学学报：信息科学版，2005，30(5)：447-450.

[4] 李玮，程鹏飞，秘金钟.灰色系统模型在卫星钟差短期预报中的应用[J].测绘通报，2009(6)：32-35.

[5] 徐君毅，曾安敏.ARIMA(0,2,q)模型在卫星钟差预报中的应用[J].大地测量与地球动力学，2009，29(5)：116-120.

[6] 郭承军，滕云龙.神经网络在卫星钟差短期预报中的应用研究[J].测绘科学，2011，36(4)：198-200.

[7] 王继刚，胡永辉，何在民，等.组合模型预报导航卫星钟差[J].大地测量与地球动力学，2012，32(1)：84-88.

[8] 王明涛.确定组合预测权系数最优近似解的方法研究[J].系统工程理论与实践，2000，20(3)：104-109.

[9] VAPNIK V N. The Nature of Statistical Learning Theory[M]. New York: Springer-Vertag, 1995.

[10] SUYKENS J, VANDEWALLE J. Least Squares Support Vector Machine Classifiers[J]. Neural Processing Letters, 1999, 9(3): 293-300.