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证明平行、垂直关系,求空间距离,求空间角

2014-08-11

数学教学通讯·初中版 2014年6期
关键词:线线线面平行

能运用公理、定理和已获得的结论证明一些与空间位置关系有关的简单命题,能用向量方法解决空间中的一些问题,了解向量方法在研究几何问题中的作用.

能用向量方法和传统方法解决直线与直线、点与平面、直线与平面、平面与平面的证明问题和计算问题. 若问题中有正方体、长方体、底面有一角为直角的直棱柱、底面为菱形的直四棱柱、四棱锥等凡能出现三条两两垂直直线的图形,常常考虑建立空间直角坐标系用向量的方法求解. 要注意向量运算与基本性质相结合的论述,这是今后的方向,可以“形到形”,可以“数到形”,注意数形结合. 也要注意常规方法的使用.

高考定位:

它是高考考查的重要方面,以解答题的形式出现.清楚线线平行、线面平行、面面平行,以及线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化. 清楚用向量法解立体几何问题是主趋势,掌握向量法解立体几何问题的方法,可以使几何问题化难为易,可以使立体几何中的角、距离的求法公式化.

题型一:用定理和性质证明平行和垂直

1. 平行证明

(1)线线平行:①线线平行的定义;②公理4;③线面平行的性质定理;④面面平行的性质定理;⑤线面垂直的性质定理.

(2)线面平行:①线面平行的定义;②线面平行的判定定理;③面面平行的性质定理.

(3)面面平行:①面面平行的定义;②面面平行的判定定理,③线面垂直的性质定理;④面面平行的传递.

2. 垂直证明

(1)线线垂直:①线线垂直的定义;②线面垂直的性质定理.

(2)线面垂直:①线面垂直的定义;②线面垂直的判定定理;③面面垂直的性质定理.

(3)面面垂直:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理.

如图1,已知在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别为CD,PC的中点. 求证:

(1)PA⊥底面ABCD;

(2)BE∥平面PAD;

(3)平面BEF⊥平面PCD.

完美解答 (1)因为平面PAD∩平面ABCD=AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,且PA⊥AD. 所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,所以AB∥DE,且AB=DE. 所以ABED为平行四边形.所以BE∥AD. 又因为BE?埭平面PAD,AD?奂平面PAD,所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,所以BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD,则PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD. 又E,F分别为CD,CP的中点,所以EF∥PD,故CD⊥EF. 由EF,BE在平面BEF内,且EF∩BE=E,所以CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥底面PCD.

题型二:求空间距离

空间距离是指两点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离以及面面距离等. 以上距离都可转化为两点距离即线段长来计算. 这六种距离的重点和难点是求点到平面的距离,因为线线距离、线面距离和面面距离除用定义能直接计算得出结果外,还可以转化为求点到平面的距离进行计算. 另外,高考对异面直线距离的考查不会太复杂,一般都是能找到公垂线段,如果遇到未给出公垂线段的问题,可以采用函数最值法(异面直线上任意两点距离的最小值)或转化为点面距离、线面距离、面面距离来求解.

如图2,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求底面中心点O到平面B1D1C的距离.endprint

能运用公理、定理和已获得的结论证明一些与空间位置关系有关的简单命题,能用向量方法解决空间中的一些问题,了解向量方法在研究几何问题中的作用.

能用向量方法和传统方法解决直线与直线、点与平面、直线与平面、平面与平面的证明问题和计算问题. 若问题中有正方体、长方体、底面有一角为直角的直棱柱、底面为菱形的直四棱柱、四棱锥等凡能出现三条两两垂直直线的图形,常常考虑建立空间直角坐标系用向量的方法求解. 要注意向量运算与基本性质相结合的论述,这是今后的方向,可以“形到形”,可以“数到形”,注意数形结合. 也要注意常规方法的使用.

高考定位:

它是高考考查的重要方面,以解答题的形式出现.清楚线线平行、线面平行、面面平行,以及线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化. 清楚用向量法解立体几何问题是主趋势,掌握向量法解立体几何问题的方法,可以使几何问题化难为易,可以使立体几何中的角、距离的求法公式化.

题型一:用定理和性质证明平行和垂直

1. 平行证明

(1)线线平行:①线线平行的定义;②公理4;③线面平行的性质定理;④面面平行的性质定理;⑤线面垂直的性质定理.

(2)线面平行:①线面平行的定义;②线面平行的判定定理;③面面平行的性质定理.

(3)面面平行:①面面平行的定义;②面面平行的判定定理,③线面垂直的性质定理;④面面平行的传递.

2. 垂直证明

(1)线线垂直:①线线垂直的定义;②线面垂直的性质定理.

(2)线面垂直:①线面垂直的定义;②线面垂直的判定定理;③面面垂直的性质定理.

(3)面面垂直:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理.

如图1,已知在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别为CD,PC的中点. 求证:

(1)PA⊥底面ABCD;

(2)BE∥平面PAD;

(3)平面BEF⊥平面PCD.

完美解答 (1)因为平面PAD∩平面ABCD=AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,且PA⊥AD. 所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,所以AB∥DE,且AB=DE. 所以ABED为平行四边形.所以BE∥AD. 又因为BE?埭平面PAD,AD?奂平面PAD,所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,所以BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD,则PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD. 又E,F分别为CD,CP的中点,所以EF∥PD,故CD⊥EF. 由EF,BE在平面BEF内,且EF∩BE=E,所以CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥底面PCD.

题型二:求空间距离

空间距离是指两点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离以及面面距离等. 以上距离都可转化为两点距离即线段长来计算. 这六种距离的重点和难点是求点到平面的距离,因为线线距离、线面距离和面面距离除用定义能直接计算得出结果外,还可以转化为求点到平面的距离进行计算. 另外,高考对异面直线距离的考查不会太复杂,一般都是能找到公垂线段,如果遇到未给出公垂线段的问题,可以采用函数最值法(异面直线上任意两点距离的最小值)或转化为点面距离、线面距离、面面距离来求解.

如图2,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求底面中心点O到平面B1D1C的距离.endprint

能运用公理、定理和已获得的结论证明一些与空间位置关系有关的简单命题,能用向量方法解决空间中的一些问题,了解向量方法在研究几何问题中的作用.

能用向量方法和传统方法解决直线与直线、点与平面、直线与平面、平面与平面的证明问题和计算问题. 若问题中有正方体、长方体、底面有一角为直角的直棱柱、底面为菱形的直四棱柱、四棱锥等凡能出现三条两两垂直直线的图形,常常考虑建立空间直角坐标系用向量的方法求解. 要注意向量运算与基本性质相结合的论述,这是今后的方向,可以“形到形”,可以“数到形”,注意数形结合. 也要注意常规方法的使用.

高考定位:

它是高考考查的重要方面,以解答题的形式出现.清楚线线平行、线面平行、面面平行,以及线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化. 清楚用向量法解立体几何问题是主趋势,掌握向量法解立体几何问题的方法,可以使几何问题化难为易,可以使立体几何中的角、距离的求法公式化.

题型一:用定理和性质证明平行和垂直

1. 平行证明

(1)线线平行:①线线平行的定义;②公理4;③线面平行的性质定理;④面面平行的性质定理;⑤线面垂直的性质定理.

(2)线面平行:①线面平行的定义;②线面平行的判定定理;③面面平行的性质定理.

(3)面面平行:①面面平行的定义;②面面平行的判定定理,③线面垂直的性质定理;④面面平行的传递.

2. 垂直证明

(1)线线垂直:①线线垂直的定义;②线面垂直的性质定理.

(2)线面垂直:①线面垂直的定义;②线面垂直的判定定理;③面面垂直的性质定理.

(3)面面垂直:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定理.

如图1,已知在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别为CD,PC的中点. 求证:

(1)PA⊥底面ABCD;

(2)BE∥平面PAD;

(3)平面BEF⊥平面PCD.

完美解答 (1)因为平面PAD∩平面ABCD=AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,且PA⊥AD. 所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,所以AB∥DE,且AB=DE. 所以ABED为平行四边形.所以BE∥AD. 又因为BE?埭平面PAD,AD?奂平面PAD,所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,所以BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD,则PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD. 又E,F分别为CD,CP的中点,所以EF∥PD,故CD⊥EF. 由EF,BE在平面BEF内,且EF∩BE=E,所以CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥底面PCD.

题型二:求空间距离

空间距离是指两点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离以及面面距离等. 以上距离都可转化为两点距离即线段长来计算. 这六种距离的重点和难点是求点到平面的距离,因为线线距离、线面距离和面面距离除用定义能直接计算得出结果外,还可以转化为求点到平面的距离进行计算. 另外,高考对异面直线距离的考查不会太复杂,一般都是能找到公垂线段,如果遇到未给出公垂线段的问题,可以采用函数最值法(异面直线上任意两点距离的最小值)或转化为点面距离、线面距离、面面距离来求解.

如图2,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求底面中心点O到平面B1D1C的距离.endprint

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