李泽荃 白玉奇 张瑞新 温晓可 巴全光 郝亦纯

(中国矿业大学(北京)资源与安全工程学院，北京 100083)

岩体裂隙网络的小世界特性

李泽荃 白玉奇 张瑞新 温晓可 巴全光 郝亦纯

(中国矿业大学(北京)资源与安全工程学院，北京 100083)

岩体中裂隙的分布是研究岩体内部渗透性和岩体稳定性的关键。自然界存在的交错分布的岩体裂隙可以看作为一种网络形态，从此观点出发，应用复杂网络理论中相关参数对这种裂隙网络进行了分析。分析结果认为，岩体裂隙网络拥有较小的平均最短路径长度和较大的集聚系数，也就是说，裂隙网络表现出小世界特性。对于分析岩体裂隙的渗透性或者浆体移动规律等具有辅助作用。

岩体裂隙 小世界网络 集聚系数 平均最短路径长度

在岩体工程建设中，经常涉及到地下硐室、边坡等的稳定性，而这些工程岩体的开挖面常常分布着大量的结构面。岩体中的结构面，除了确定性的规模较大的断层外，还包含着成千上万的节理与裂隙，这些微小的不确定性的结构面严重地影响着岩体的各种力学特性。目前，对于岩体裂隙网络的研究都是基于概率与统计学原理，通过统计分析得到裂隙的分布规律，采用随机模拟的方法实现与统计分布相适应的裂隙网络[1-4]。然后通过分析所得到的模拟裂隙网络，对岩体的稳定性进行判定。王宏等[5]就是利用节理网络模拟技术进行了边坡的稳定性分析，通过分析岩体本身节理的状态，给出了工程状态下岩体的临界途径图，而且预测了岩体本身的破坏模型。

进入20世纪90年代，国内外一些研究人员开始采用非线性理论或者复杂系统理论进行岩土稳定性的研究。陈剑平在文献[6]中，尝试采用了耗散结构理论进行了岩土体变形分析，研究发现岩土体工程灾害系统的相空间是复杂的，其吸引子为分数形式，岩土体变形过程中的失稳是一种耗散结构。汤连生和周萃英分别在文献[7-8]中，采用非线性动力学模型对滑坡失稳破坏进行了成功的预测，认为岩土体工程灾变是系统内各要素通过一系列非平衡不稳定产生的空间的、时间的、功能的和结构的自组织过程，提出了新的研究思路。1985年起，谢和平院士在多篇文献[9-11]中创造性地引入了复杂系统理论中的分形方法对裂隙岩体进行非连续变形、强度和断裂破坏的研究，形成了岩石损伤断裂的分形几何新领域。张我华等在文献[12]中，从系统及能量突变的观点出发，采用突变理论中的尖点突变模型分析了岩体破坏的过程，提出了新的判断岩体工程系统破坏失稳的能量突变判断准则。

近年来，对复杂网络及其跨学科的研究已经出现爆炸式的增长，一些新的概念及研究方法的出现使得研究网络的拓扑结构上升到一个新的阶段[13]。其中，在岩体裂隙网络研究领域，国外学者已经开始运用复杂网络理论进行分析。Luca Valentini等在文献[14]中，利用复杂网络理论对3种不同尺度的岩体裂隙网络进行了分析，认为岩体裂隙网络是一种小世界网络，可以采用小世界网络的一些特性研究岩体渗透性和稳定性。H.Ghaffari应用图论理论解释了岩体裂隙网络中的一些网络拓扑特性，并对岩体的渗透性进行了分析。C.A.Andresen在他的博士论文[15]中提出了一种新的自然裂隙网络转化为抽象拓扑网络的方法，并采用该方法对8种露头裂隙网络和人工生成的网络进行了计算。H.O.Ghaffari等以粗糙裂隙面为研究对象，把裂隙面看成一种网络，采用复杂网络理论孔径算法(CONA)计算了该网络诸如度分布、集聚系数等拓扑参数，并分析了网络中边重新连接对整个网络演化的影响[16-17]。H.O.Ghaffari等采用波尔兹曼和复杂网络理论研究了岩体裂隙中流通性的变化对液体流动复杂性的影响，文中考虑了一般性随机网和具有局部中心的随机网2种网络，结果认为网络中平均最短路径的变化对液体流动产生较大的影响。

本研究将在前人研究的基础上，应用复杂网络理论对岩体裂隙网络进行分析，找出岩体裂隙网络的部分拓扑结构特性，验证其小世界性质。

1 裂隙网络的表示方法

自然界岩体中存在的裂隙呈网状形式分布，我们无法对它进行直接拓扑计算，需要将这些呈网状分布的裂隙转化为实际意义上的拓扑网络。国外的学者在此领域做了一定的探索，普遍采用的主要有2种表示方法。如图1所示为第1种方法，自然存在的裂隙网络用图论中的节点和边表示，裂隙的端头或者裂隙的交点表示为节点，裂隙线表示为边[14]；之后可将图转化为邻接矩阵进行计算。第2种方法如图2所示，每一条裂隙被认为是一个节点，当2条裂隙相交时被认为2条裂隙(节点)有关系，用1条边连接这2个节点[15]。

图1 表示方法1

图2 表示方法2

2 网络拓扑结构

2.1 基本网络统计特性

度(degree)：复杂网络中，一个节点的连线数目称为该节点的度。例如，有6条连接线的节点的度就是6。平均度为整个网络节点度的平均数。

集聚系数(clustering coefficient)[18]：复杂网络中，集聚系数用来刻画所关心的某个节点的直接邻居节点间也相互连接的程度。假设某一节点A有n个近邻点，那么这n个节点之间最多有n(n-1)/2条边，那么该点的集聚系数为这n个节点之间的实际连接数目m除以n(n-1)/2，即

因此，网络的集聚系数表示为

平均最短路径长度(average shortest path-length)[18-19]：一个网络上的平均最短路径长度定义为该网络上所有存在的节点距离的平均值，代表网络的直径。平均最短路径长度表示为

其中，l代表网络平均最短路径长度，N代表网络节点数，dij代表不同的两点间的最短路径长度。

2.2 小世界网络

1998年，Watts和Strogatz创造性地构造出了一种介于规则网和随机网之间的网络，称之为小世界网络[20]。该网路同时拥有较小的平均最短路径长度和较大的集聚系数，后者明显有别于随机网络模型；而且小世界网络中，大部分的节点度相差不大，节点度近似服从Poisson分布。

3 岩体裂隙网络拓扑特性分析

3.1 分析方法

单纯地验证某种网络为小世界网络有一定局限性，我们将采用对比分析的方法来计算网络的小世界特性。通过把自然裂隙网络与理论小世界网络进行比较，找出其相似性，进而验证其属性，而且规则网和随机网也作为参考点。本研究选用3个露头样本岩体裂隙网络与理论小世界网络进行对比分析。图3为一种露头岩体裂隙，图4为手工转化后的部分裂隙网络。再者，理论网络的生成和网络统计参数的计算都采用应用比较广泛的Pajek网络分析软件。图4中的网络转化为邻接矩阵，然后输入到Pajek进行计算，图5为Pajek导出的网络图。

图3 露头岩体裂隙

3.2 结果与讨论

自然裂隙网络和理论网络计算结果如表1所示。从表1可以看出，随机网表现出较小的平均最短路径长度和较小的集聚系数，规则网表现出较大的平均路径长度和集聚系数。而小世界网络则相反，表现出较小的平均最短路径长度和较大的集聚系数。从表1还可以看出，自然岩体裂隙网络拥有较小的平均最短路径长度和较大的集聚系数，与理论计算出的小世界网络具有相似的特性。因此，可以认为自然界存在的岩体裂隙网络具有小世界特性。对于分析岩体裂隙的渗透性等性质，可以应用复杂网络理论进行计算。

图4 转化后的部分裂隙网络

图5 Pajek导出的网络

表1 网络参数计算结果Table 1 Network parameters calculation summeries

4 结 论

近年来，复杂网络已经成为不同学科(包括地质学、力学、物理、生物、通信、社会等)中的热点研究方向。随着研究的深入，在诸多方面都取得了长足的进展。本研究在前人研究的基础上，从一个独特的角度把岩体裂隙看成一种网络形式进行分析。通过对转化后的网络进行计算，认为岩体裂隙网络具有小世界特性，即拥有较小的平均最短路径长度和较大的集聚系数。本研究只是复杂网络理论应用于岩体裂隙分析的一个尝试，对于此问题的研究将有助于分析岩体的渗透性及内部物质的流动性，例如，瓦斯的流动总是依赖于岩体局部的贯通性，如果了解了岩体内部裂隙网络的特征路径，可以对瓦斯流动状况进行预测。

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(责任编辑 石海林)

The “Small-world” Characteristics of Rock Fracture Networks

Li Zequan Bai Yuqi Zhang Ruixin Wen Xiaoke Ba Quanguang Hao Yichun

(SchoolofResourceandSafetyEngineering，ChinaUniversityofMiningandTechnology(Beijing)，Beijing100083,China)

The distribution law of fracture in rock mass is the key to study rock permeability and engineering stability.Rock fractures of staggered distribution which exist in nature can be looked as a kind of network.Based on this view，the fracture networks are analyzed by using complex network theory with relevant parameters.The results showed that rock fracture networks owned low average shortest path-length and high clustering coefficient.In other words，rock fracture networks appear the properties of “small-world”.The results have an auxiliary effect on analyzing rock permeability and magma displacement law.

Rock fracture，Small-world network，Clustering coefficient，Average shortest path-length

2013-12-01

李泽荃(1983—)，男，博士研究生。

P618.11，TE112

A

1001-1250(2014)-04-049-04