刘玥雯，王才士，普丽琴

(西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州730070)

1 引言及预备知识

2011年，X.J.Wang等［1］建立了 1 ＜p≤2 条件下的渐近几乎负相协(AANA)随机变量序列的Hájek-Rényi型不等式.Hájek-Rényi(简称 HR)型不等式是J.Hájek等［2］在1955年发现和证明的，定理内容是:若{Xn，n≥1}是独立随机变量序列且均值为零，{bn，n≥1}是一非负不减实数序列，那么对∀ε＞0和任意正整数m≤n有

这个不等式引起了不少学者的兴趣.例如，B.L.S.Rao［3］给出了正相协(PA)随机变量序列的H-R 型不等式，之后，S.H.Sung［4］改进了该不等式，并给出了一些应用；M.H.Ko等［5］应用 H-R型不等式得到AANA序列加权和的强大数定律.

定义 1［6］称{Xn，n≥1}为 AANA 随机变量序列，如果存在一个非负序列q(n)→0，对所有n，k≥1满足

其中，f和g是使上式有意义，对各变元不降且使(1)式右端有限的函数.

AANA序列是一类非常广泛的随机变量序列，它包含负相协(NA)序列和相互独立随机变量序列.由于AANA序列在可靠性理论和多元统计分析中有着广泛应用，所以研究AANA序列的收敛性和极限定理具有重要的实际意义，与其有关的应用也被更多的发现和推广.例如，X.J.Wang等［1］得到了AANA序列的大偏差和Marcinkiewicz型强大数定律；T.K.Chandra等［6］获得了 AANA序列加权平均的几乎必然收敛；X.J.Wang等［7］给出了AANA序列部分和的强大数定律和强收敛速率；D.M.Yuan等［8］建立了 AANA序列部分和的Rosenthal型不等式等.

本文在3·2k-1＜p≤4·2k-1的条件下建立了AANA随机变量序列的H-R型不等式，并应用此不等式得到了AANA随机变量序列的部分和收敛定理、强大数定律和上确界可积性定理.

为了证明本文的主要结论，需要给出以下引理.

引理 1［8］令{Xn，n≥1}是一列均值为零的AANA随机变量序列，其混合系数为{q(n)，n≥1}，且p∈(3·2k-1，4·2k-1］，整数k≥1.若＜∞，则存在一个只依赖于p的非负常数Dp，使得对所有n≥1有

2 主要结论

3 应用

［1］Wang X J，Hu S H，Li X Q，et al.Maximal inequalities and strong law of large numbers for AANA sequences［J］.Commun Korean Math Soc，2011，26(1):151-161.

［2］Hájek J，Rényi A.A generalization of an inequality of Kolmogorov［J］.Acta Math Acad Sci Hung，1955，6:281-284.

［3］Rao B L S.Hájek-Rényi inequality for associated sequences［J］.Statistics and Probability Lett，2002，57:139-143.

［4］Sung S H.A note on the Hájek-Rényi inequality for associated random variables［J］.Statistics and Probability Lett，2008，78:885-889.

［5］Ko M H，Kim T S，Lin Z Y.The Hájek-Rényi inequality for the AANA random variales and its applications［J］.Taiwanese J Math，2005，9:111-122.

［6］Chandra T K，Ghosal S.The strong law of large numbers for weighted averages under dependence assumptions［J］.J Theory Probability，1996，9:797-809.

［7］Wang X J，Hu S H，Yang W Z.Convergence properties for asymptotically almost negatively associated sequence［J］.Discrete Dynamics in Nature and Society，2010，2010:1-15.

［8］ Yuan D M，An J.Rosenthal type inequalities for asymptotically almost negatively associated random variables and applications［J］.Sci China，2008，A52(9):1887-1904.

［9］Matula P.Convergence of weighted averages of associated random variables［J］.Probab Math Statist，1996，16:337-343.

［10］Zhang L X.A functional central limit theorem for asymptotically negatively dependent random fields［J］.Acta Math Hung，2000，86:237-259.

［11］Hu X P，Fang G H，Zhu D J.Strong convergence properties for asymptotically almost negatively associated sequence［J］.Discrete Dynamics in Nature and Society，2012，2012:1-8.

［12］Wang Y B，Yan J G，Cheng F Y，et al.The strong law of large numbers and the law of the iterated logarithm for product sums of NA and AANA random variables［J］.Southeast Asian Bull Math，2003，27(2):369-384.

［13］Tibor T，Zsuzsanna L.A Hájek-Rényi type inequality and its applications［J］.Annales Mathematicae et Informaticae，2006，33:141-149.

［14］Liu J J，Gan S X，Chen P Y.The Hájek-Rényi inequality for the NA random variables and its application［J］.Statist Probab Lett，1999，43:99-105.

［15］Baek J II.Almost sure convergence for asymptotically almostnegatively associated random variables sequence［J］.Commun Korean Statistical Society，2009，16(6):1023-1022.