梁 鹏 花

(山西省建筑设计研究院，山西 太原 030013)

关于阻尼模型及其应用的几点探讨

梁 鹏 花

(山西省建筑设计研究院，山西 太原 030013)

指出阻尼作为结构动力响应分析的最重要的参数之一，是结构振动中描述能量耗散的指标，介绍了阻尼的分类及几种常见阻尼模型，并对其在结构动力分析中的应用做了简单阐述，为结构动力特性研究提供了理论依据。

阻尼理论，Rayleigh阻尼，Caughey阻尼，振型叠加法

结构的动力特性包括阻尼因数、固有频率、振型等，阻尼作为一切物体的固有动力特性，用以描述物体在振动过程中的能量耗散，阻尼的存在，使物体的动能不可逆地逐渐转变为其他能量，因此它是影响物体动力反应的重要因素之一。目前，虽然人们已经认识到阻尼的重要性，但由于阻尼机理的复杂性，使得阻尼不能像质量矩阵及刚度矩阵那样可以对应有明确的物理意义，大多数学者及工程师仍然主要从宏观层面上把握理解结构的阻尼特性。对于动力时程分析中较为通用的Rayleigh阻尼模型只能精确设定两阶振型的阻尼比，而往往夸大高阶模态的振型阻尼比。另外，结构进入弹塑性后，由于刚度退化，系统的振型和自振频率都会相应改变，目前对于弹塑性动力分析中的阻尼模型，仍没有统一的认识。

1 阻尼类别

阻尼机理复杂，结构动力分析中，目前据人们对阻尼现象的认识包括：

1)材料阻尼或内部阻尼，主要由结构内部微观层面的相互作用引起。该类阻尼主要是由材料的性质决定的，形成机理为材料在动力状态下内部宏观或微观粒子间的运动摩擦所形成，在建筑结构中，该类典型的代表是混凝土材料，其内部各种成分之间的摩擦造成能量消耗即干摩擦耗能，这是结构阻尼产生的根本原因。

2)边界阻尼或结构阻尼，主要由于结构内各构件或各组成部分间的相对运动引起，比如钢结构节点处的转动摩擦、构件的相对滑移等。库仑阻尼就是该类阻尼的典型代表。

3)流体粘滞阻尼，主要由浸于流体中的系统受流体阻力产生，比如粘滞阻尼器。

2 常用阻尼模型

一个好的阻尼模型应该能较全面及真实的概括各类阻尼，在物理概念上，学者们常常将阻尼模型归类为粘滞阻尼模型和滞后阻尼模型；在数学处理上按照计算方法阻尼模型常可分为比例阻尼模型与非比例阻尼模型[1]。

粘滞阻尼模型所表达的阻尼力与变形速度成比例，由于与速度成正比，它所建立的运动方程为线性微分方程，可方便的应用于时域及频域的计算，这也就是其得到广泛应用的主要原因。采用该阻尼模型时阻尼具有频变的特性。

滞后阻尼模型又称为复阻尼模型[2]，所表达的阻尼力与弹性力恢复力成正比，方向与速度同相位。该阻尼理论相当于在刚度矩阵上附加复刚度矩阵，体系的运动方程为复数微分方程，在时域内计算困难，可以方便的应用于频域计算。对于线性问题，可转换到频域求解或采用复模态叠加法求解。滞后阻尼理论的特点是阻尼具有非频变的特性，符合试验中所发现的阻尼力在相当频带宽内变化缓慢的事实，但当推广到无限频带宽时将导致与物理事实相悖的结果。

比例阻尼以Rayleigh阻尼，以及Rayleigh阻尼的拓展形式如Caughey阻尼、Clouugh阻尼、修正的Rayleigh阻尼为代表，又称为经典阻尼。

非比例阻尼又称为非经典阻尼，实际结构体系中具有比例阻尼的情况极少，一般都具有非比例(非经典)阻尼特性，非比例阻尼体系具有复模态振型，严格来说，非比例阻尼体系并不存在所谓的“振型”，因此传统求解比例阻尼体系的模态叠加法已不再适用，常用求解方法有：复模态方法、近似解耦方法、拟力实模态叠加法、Ritz向量叠加法、直接积分法。

比例阻尼模型虽然使结构动力分析简单，但它常常并不完全符合结构阻尼的真实情况，在实际工程结构中，由于阻尼特性明显不同的钢筋—混凝土结构组合形式的采用，各种机械阻尼器在结构工程中的广泛应用，以及土—结构相互作用等问题的出现，非经典阻尼或非比例阻尼问题逐渐得到了重视。非比例阻尼模型的特点是阻尼矩阵无法被结构的无阻尼振型解耦，结构动力学分析得到的系统模态为复模态。对于具有非比例阻尼系统响应的解，只能用数值计算的方法进行近似求解。

3 比例阻尼建模

比例阻尼的一般形式为[3]：

(1)

在结构动力分析中，应用最为广泛的一类阻尼模型为Rayleigh阻尼模型，其假定结构的阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合：

[C]=a0[M]+a1[K]

(2)

其中，a0，a1均为比例常数，可根据结构低阶振型的频率和阻尼比，利用振型正交性得出a0和a1的取值。

Rayleigh阻尼模型只有两阶振型与实际阻尼比一致，可以通过构造更多项的线性组合，达到更多阶振型的阻尼比满足实测阻尼比，这种拓展的Rayleigh阻尼模型又叫做Caughey阻尼模型[4]:

(3)

Wilson与Penzien[5]提出一种解决Caughey阻尼模型存在数值计算困难的方法：

(4)

称之为Wilson-Penzien阻尼。

Luco[6]也提出一种解决柯西阻尼模型存在数值计算困难的方法：

(5)

Clough[3]提出一种可以弥补Wilson-Penzien阻尼模型具有无阻尼模态缺陷的一种阻尼形式：

(6)

董军等[7]提出一种算法类似于克拉夫阻尼的修正Rayleigh阻尼模型：

(7)

此外，还有不少学者对之前学者提出的阻尼模型进行过研究，并提出了相应的阻尼建模方法，但由于形式复杂，不便于应用，此处便不予列出。

4 各类阻尼在结构动力学中应用

当选用比例阻尼模型进行结构动力计算时，由于只能精确控制有限阶振型的阻尼比，因此关键问题是要确定需要精确控制哪几阶振型的阻尼比。这就要明确各阶振型对响应的贡献。首先要看振型参与系数，一般认为振型参与系数越大其对响应贡献越大。其次要看动力放大系数，动力放大系数是阻尼比及频比的函数，而一般认为各阶振型的阻尼比不变，所以只关注频比即可。可对地震时程进行傅里叶变换分析其频谱特性，从而得到卓越周期的范围，自振频率落在此范围内的那阶振型动力放大系数应该较大。最后也不能忽略地震动幅值的影响，可在考虑动力放大系数时进行兼顾。

目前在动力学分析中，确定Rayleigh阻尼模型所需要的两个振型的控制频率，一个是取第一阶振型，另一个一般应根据各振型的振型参与系数，及模型本身的自振频率特性和地震波的频谱特性取[8]。

如果要使更多阶振型的阻尼比满足实测阻尼比时，就要考虑Caughey阻尼。而现有的大型有限元软件无法实现Caughey阻尼，必须进行编程。

非线性动力分析时，也存在如何形成合适的阻尼模型的问题。此时振型叠加法已不再适用，只能通过实验对比所选阻尼模型的精确性。

如果考虑土—结构相互作用，土介质的阻尼特性常采用滞后阻尼模型，易在频域内进行分析。但在实际的强震过程中，土体一般已进入非线性阶段，应采用时域的非线性分析方法。此时阻尼系数转换频率的确定成为关键问题。

5 结语

本文对阻尼的成因、阻尼理论及常见阻尼模型做了较为全面的介绍 ，其中挑选目前在结构动力学中最为常用的两种比例阻尼模型：Rayleigh阻尼模型和Caughey阻尼模型的定义及在结构动力学中的具体应用做了详细介绍，对于非比例阻尼的建模问题将会是作者今后研究的课题。

[1] 结构动力分析中的阻尼模型研究[J].湖南城市学院学报(自然科学版)，2009，18(2)：13-16.

[2] 楼梦麟，潘旦光.滞后阻尼在土层时域分析中的应用[J].同济大学学报,2004，32(4)：281-285.

[3] Clough R W,Penzien J.Dynamics of structures[M].New York:Mc Graw-Hill,1993.

[4] Chopra A K.Matrix Dynamics of structures:Theory and applications to earthquake engineering,seconded.[M].New Jersey:Prentice-Hall,2001.

[5] E.L.Wilson,J.Penzien.Evaluation of orthogonal damping matrices[J].International Journal For Numerical Methods In Engineering,1972(4):5-10.

[6] J.Enrique Luco.A note on classical damping matrices[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics,2008(37):615-626.

[7] 董 军,邓洪洲.结构动力分析阻尼模型研究[J].世界地震工程,2000,16(4):63-69.

[8] 淡丹辉，孙利民.结构动力有限元分析的阻尼建模及评论[J].振动与冲击，2007，26(4)：121-123.

Some discussion on damping model and its application

LIANG Peng-hua

(ShanxiArchitecturalDesign&ResearchInstitute,Taiyuan030013,China)

It points out that damping is one of the most important parameters in structural dynamic response analysis, it is the index to describe the energy dissipation in structural vibration. The damping classification and several common damping model are introduced in this paper. And simply elaborated its application in structural dynamic analysis, provided theoretical basis of the research on structural dynamic characteristics.

damping theory, Rayleigh damping model, Caughey damping model, mode superposition method

1009-6825(2014)15-0039-02

2013-12-19

梁鹏花(1978- )，女，工程师

TU311.3

A