龙 琼

(重庆大学 数学与统计学院，重庆 401331)

1993年，美国阿尔莫斯国家实验室的Camassa和Holm[1]从物理角度推导出了一类新的浅水波方程，即Camassa-Holm方程，简称CH方程：

ut-utxx+2bux+3uux=2uxuxx+uuxxx

(1)

在1995年，Fokas[6]通过双Hamilton结构从经典的可积浅水波系统中推导出了新的更为一般的可积系统，即带有立方非线性项的Camassa-Holm方程

(2)

在2012年，Gui[7]指出该方程解的奇异性仅以波裂的形式发生，并在给定初始轮廓值的情形下，描述出它的一个新的波裂运动.

通过对现有经典方程进一步深入的研究，数学家们在不断考虑新的更一般的方程. 最近，Qiao，Xia和Li[8]推导出一类新的带有二次项和立方项的Camassa-Holm方程

(3)

其中b，k1和k2为任意常数. Qiao的研究表明该系统完全可积，具有Lax对、双Hamilton结构，满足无限多的守恒律，更重要的是存在弱纽结解和kink-peakon交叉解，这与经典的CH方程有着本质的不同.可见这类新系统是值得研究的.受文献[4]及上述文献的启发，此处将利用经典的Friedrichs正则化方法和transport方程理论来讨论该方程解在Besov空间中的局部适定性问题.为了方便，下面将问题(3)写成transport方程的形式：

(4)

1 预备知识介绍

(5)

则存在与s，p，d无关的常数C，满足

或者

引理3[9](一维Moser型估计)设1≤p，r≤+∞，下列估计成立.

其中C是不依赖f，g的常数.

2 定理及证明

(6)

其中常数C>0仅依赖于p,r,s.

(7)

其中

由引理1可得

(8)

利用Besov空间中的乘积法则可得

类似地，如下估计式(9)-(12)成立

综上可得

(13)

将式(13)代入式(8)可得

(14)

再结合Gronwall’s不等式可得式(6).证毕.

(15)

并且存在一个时刻T>0，使得(u(n))n∈N满足

(16)

再利用乘积法则对方程(15)中∂xm(n+1)的系数以及等式右边的项进行估计并结合式(16)可得

(17)

(18)

则对任意0≤τ≤t，有

将式(……