某扭转梁后悬架侧倾刚度的解算与优化
2014-08-08赵亮晏海军郭孔辉
赵亮+晏海军+郭孔辉
文章编号：16742974(2014)05002006
收稿日期：20131016
基金项目：广西科学研究与技术开发计划项目（111070018A）
作者简介：赵 亮（1979-），男，湖南怀化人，湖南大学高级工程师，博士
通讯联系人，E-mail:liangzhaohn@126.com
摘 要：建立悬架侧倾力学模型，利用结构力学的初参数法，推导出带稳定杆的扭转梁的扭转刚度解析解，在此基础上建立了其等效在车轮处的侧倾角刚度的数学模型，通过与ABAQUS软件建立的有限元模型的仿真结果对比验证其可靠性.结合NSGAⅡ算法对悬架的侧倾角刚度及横梁总质量进行了优化，结果表明横梁质量和侧倾角刚度得到很好的折中，证实了该优化方法较为可靠，对扭转梁后桥开发初级阶段总成特性参数的设计、选择具有理论指导意义.
关键词：扭转梁悬架；力学模型；初参数；扭转刚度；侧倾刚度；优化
中图分类号：U463.33 文献标识码：A
Calculation and Optimization of the Roll Stiffness
of Torsion Beam Rear Suspension
ZHAOLiang1,2,YAN Haijun1,GUOKonghui1,2
(1.State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan Univ,Changsha,
Hunan 410082,China;2.Liuzhou Konghui Automotive Technologies Co Ltd, Liuzhou,Guangxi 545000,China)
Abstract:A suspension roll mechanic model was set up, and by using the initial parameter method of structural mechanics, the analytical solution of the torsional stiffness of torsion beam with stabilizer bar was deduced, on the basis of which the mathematical model of its equivalent roll stiffness at the wheels was established. The mathematical model was verified by simulating the corresponding model set up with ABAQUS software. Then, combined with NSGAⅡ algorithm, an optimization was conducted on the roll stiffness and the total quality of the beam. The results have shown that the roll stiffness and total quality of the beam get a good balance and the optimization method is reliable, which has theoretical guidance for the design and choice of characteristic parameters of the torsion beam rear axle in the primary stage of development.
Key words:torsion beam suspension；mechanical model；initial parameter；torsional stiffness；roll stiffness；optimization
扭转梁式悬架是一种半独立悬架，整个后桥由扭转横梁和纵向摆臂焊接而成.当汽车曲线行驶时，悬架横梁产生扭转，起到增加悬架侧倾角刚度、减小车身倾角和提高汽车操纵稳定性的作用.
悬架的侧倾角刚度是影响汽车侧倾稳定性的主要因素之一[1]，直接影响到汽车操纵稳定性的一些性能指标，如不足转向度、中性转向侧向加速度.目前工程上对扭转梁的分析多采用生成扭转梁模态中性文件的方法进行分析,如文献［2-3］都是通过有限元软件建立模态中性文件对扭转梁悬架进行K&C分析；该方法是基于实际的物理结构,几乎没有进行优化的可能性,因此提出扭转梁悬架的侧倾角刚度的数值解析法.
本文根据扭转梁式后桥的结构特点，建立了悬架的侧倾力学模型，推导了带稳定杆扭转梁的扭转刚度等效在车轮处的侧倾角刚度的数学模型，并与虚拟样机ADAMS仿真的结果做了对比分析.在此基础上，进一步以扭转横梁和稳定杆截面尺寸参数为设计变量，采用改进的非支配排序遗传算法(NSGAⅡ)对侧倾刚度及横梁质量进行了多目标优化，一次性获得pareto解集，通过选取合适的解，减少了悬架的非簧载质量，提高了悬架的侧倾角刚度，为补偿弹簧刚度的不足、提高整车平顺性、降低汽车的稳态振动频率、改善行驶特性提供了可能.对扭转梁后桥开发初级阶段总成特性参数的设计、选择具有深刻的理论指导意义，提高了扭转梁悬架的设计效率.
1 等效侧倾角刚度的计算
悬架侧倾角刚度是指汽车侧倾时（车轮保持在地面上），单位车身转角下，悬架系统给车厢总的弹性恢复力偶矩[4].
1.1 悬架力学模型的建立
根据侧倾运动的实际行驶情况，当车轮位移较小即摆臂在小角度发生摆动时，与车身的连接衬套简化为球铰，后桥左右轮心处承受反向的垂向力，产生对横梁的扭矩，同时纵向摆臂与车体的铰接点处产生垂向支反力.结合扭转梁非独立悬架的具体结构可画出如图1所示的侧倾时的悬架受力图[5].
横梁的扭转力矩T由两对力偶产生，可以得到方程：
2(FZLb+F′ZLa)=T(1)
式中a为横梁轴线到车身连接球绞中心的纵向距离；b为横梁轴线到轮心的纵向距离.
扭矩T由横梁的扭转刚度k和两端面相对扭转角θ所得：
T=kθ (2)
4个外力分别对悬架纵向对称轴线取矩,有力矩平衡便可得方程：
FZLd+F′ZLc=0(3)
式中c为左右轮心的距离；d为左右球绞中心的距离.
图1 力学模型
Fig.1 Mechanical model
1.2 扭转刚度计算
在杆件两端加上一对大小相等且反向的力矩M，如图2所示，设两端面的相对扭转角为θ，将扭转刚度定义：
k=Mθ(4)
横梁扭转刚度由两部分提供.一部分由V型截面梁，一部分由稳定杆.下面分别对两部分扭转刚度进行求解.
图2带稳定杆的扭转梁示意图
Fig.2 Torsion beam with stabilizer bar diagram
1.2.1V型截面梁扭转刚度计算
V型截面梁为非圆截面开口薄壁杆件，左右两端焊接在两纵摆臂上，因此横梁发生扭转时翘曲自由度受到了约束，因此只能通过约束扭转理论来计算横梁扭转刚度.运用约束扭转初参数解法求解之前，必须对约束扭转系数k进行求解[6].
k=l0GJdE1JW（5）
折算弹性模量：
E1=E1－μ2（6）
材料的剪变模量：
G=E2(1+μ)（7）
截面中线长度：
s=2(pr+L)（8）
截面的自由扭转惯性矩：
Jd=13∑idit3=13×st3（9）
式中l0为横梁长；r为截面中线圆弧部分半径；L为矩形部分长度；t为扭转梁厚度；p为圆弧所对应的弧度；G为材料剪切模量；E为材料弹性模量；μ为泊松比；E1为折算弹性模量；JW为截面主扇性惯性矩；Jd为截面自由扭转惯性矩.
下面用扇形面积法对JW进行求解.
由于是对称截面，截面与对称轴z相交于点M,将圆心o与M点分别设为参考扇性极点与参考扇性零点，如图3所示.将M0点沿截面中线顺时针旋转α角度到达M点,该点的参考扇性面积为：
w1=αr2,0≤α≤p(10)
M点距z轴的距离为:
y1=rsinα(11)
圆弧部分主扇性惯性矩为：
Jyw1=∫Ay1w1dA=tr4∫p0αsin αdα(12)
矩形与圆弧部分的交点c沿矩形中线方向移动长度b到c1点，该点的扇性面积为：
Jyw1=∫Ay1w1dA=tr4∫p0αsin αdα(13)
c1点距z轴的距离为:
y2=rsin p+bsin θ (14)
矩形部分主扇性惯性矩为：
图3主扇性极点求解示意图
Fig.3Main pole solution diagram
Jyw2=∫Ay2w2dA=
∫l0(br+pr2)(sin pr+sin θb)tdb(15)
整个截面的主扇性惯性矩为：
Jyw=2Jyw1+2Jyw2(16)
整个截面对z轴的惯性矩：
Jy=∫Ay2dA=
23tcos 2(p)L3+23tL(3r2+t24)sin 2p+
rtL2sin (2p)+tr3(p－cos p sin p)(17)
由公式e=JywJy即可求得e的值，即参考扇形极点o向左移动距离e即为主扇性极点的位置，如图4所示.
图4 主扇性惯性矩求解示意图
Fig.4 Main moment of inertia diagram
确定了主扇性的极点和零点，就可以得到M点的主扇性面积为：
wM=2×(SΔAOM－S扇形OMOM)=
ersin α－αr2（18）
则圆弧部分主扇性惯性矩为：
Jw1=∫Aw2MdA=∫p0(ersinα-αr2)2trdα(19)
对矩形部分进行分析，c1点的主扇性面积为：
wC1=SAMN0－S弓形NCC1=
SΔAOC1－S扇形OCMO－SΔOCC1=
e(rsin p+bsin θ)－pr2－br（20）
则2段的主扇性惯性矩为：
Jw2=∫Aw2PdA=
∫l0(e(sinpr+sinθb)-pr2-br)2tdb(21)
整个截面主扇性惯性矩为：
Jw=2Jwa+2Jwb（22）
由公式(5)~(22)求得约束扭转系数k后，基于约束扭转的初参数解法[6]，任选梁的一端作为初始截面，设梁受的扭矩为M，则可得到初始的参数扭转角θ0，扭率θ′0，双力矩B0，扭矩L0.那么可得初始向量：
{Z0}=0 0 -B0GJd L0GJd
当x=l0时的边界条件有
θ′l0=0；Ll0=M
根据约束扭转公式有：
θl0
0
-Bl0GJd
MGJd=
1l0Kshkchk-1l0-l0kshk
0chkkl0shk1-chk
0l0kshkchkl0kshk
0001•0
0
-BOGJd
LoGJd
根据第1，第2和第4个方程易解得
L0=M
B0=Ml0－Ml0chkkshk
θl0=Ml0(1-chk)2GJdkshk+Ml0GJd(1-shkK)
在此便可以得到该薄壁横梁的扭转刚度:
kl=Mθl0（23）
1.2.2 扭杆扭转刚度计算
扭杆为圆截面闭口薄壁截面，在扭转载荷作用下不发生翘曲，其扭转刚度可以用自由扭转的公式计算：
kg=π(d41-d42)G32l0(24)
整个扭转梁的扭转刚度为：
k=kl+kg（25）
1.3 横梁扭转角
扭转梁悬架车轮的运动可以等效为以车身连接点o1与横梁对称面剪切中心（上文求得的主扇性极点）o2的连线矢量t为转轴摆动[7]，如图5所示.右轮心与右衬套硬点坐标见表1．
图5等效运动学模型
Fig.5Equivalent kinematics model
表1 悬架硬点坐标
Tab.1 Suspension hardpoint coordinates
硬点名称
x
y
z
轮心o
3 624.1
762.5
320.0
衬套中心o1
3 213.6
573.5
305.9
基于多体计算动力学欧拉四元素法[8]，定义：
纵向单位矢量p′=［1,0,0］T；
旋转轴的欧拉角矢量t=［tx,ty,tz］T；
欧拉四元素矢量：
q=［λ0,λ1,λ2,λ3］T=
［cos (β2),txsin (β2),tysin (β2),tzsin (β2)］T变换矩阵:
T=
2(λ20+λ21)-12(λ1λ2-λ0λ3)2（λ1λ3+λ0λ2）
2(λ1+λ2)+λ0λ3)2(λ20λ22)-12（λ2λ3-λ0λ1）
2(λ1+λ3-λ0λ2)2(λ2λ3+λ0λ1)2（λ20+λ23）-1
矢量p′绕摆轴转过β角得到矢量p=Tp′.
发生侧倾运动时如图6所示，横梁两端面的相对扭转角θ定义为[9]：
θ=2tan-1pzpx(26)
1.4 侧倾角刚度计算
根据定义，已知截面参数及悬架结构参数，由式(1)~(26)，设定轮跳范围（即对应的β的范围），在每个分析步完成都有一个力矩和角度的变化，即可以求得侧倾角刚度CK:
CK=dTd=12dFdZB2
式中B为轮距.
图6横梁扭转角示意图
Fig.6Bar torsion angle
2 数学模型验证
考虑到衬套对扭转刚度的影响，将摆臂与车身用球铰链接，在有限元软件ABAQUS中建立了扭转梁式后悬架有限元仿真分析模型，如图7所示.
图7 ABAQUS有限元仿真模型
Fig.7 ABAQUS simulation model
根据上文推导出的悬架侧倾刚度计算公式，在MATLAB中编写程序进行仿真，绘出悬架侧倾刚度随反向轮跳上下20 mm的变化曲线图，并将其与有限元仿真的数据作对比，结果如图8所示.
由图8可以看出ABAQUS悬架侧倾刚度曲线在小范围内随轮跳呈非线性变化，而理论模型侧倾角刚度呈线性变化，这是由于扭转梁悬架是一种半独立悬架，左右轮相互产生横向干涉，引起扭转角非线性变化，而理论模型完全等效成拖曳臂式独立悬架，故过程中扭转角随轮跳呈线性变化，所求得的曲线也呈线性变化.同时理论模型没有考虑到摆臂的弯曲及扭转刚度，这也导致理论值较仿真值要偏小的原因.总的来说，通过理论推导出来的侧倾刚度与ABAQUS仿真值比较接近，验证了该数学推导的正确性.
轮跳/mm
图8 侧倾刚度对比曲线图
Fig.8Roll stiffness curve
3 基于NSGAⅡ算法多目标优化
NSGAⅡ算法是一种基于快速分类的、采用精英策略的多目标遗传算法.首先,随机生成父代种群,然后对种群进行快速非胜出排序.根据每个非支配解的分级水平为指定适应值.进行选择、复制和变异操作生成具有N个个体的子代种群, 父代和子代混合利用精英策略构造出新种群, 并重复循环[10].
3.1 多目标优化模型的建立
考虑到该类悬架在横梁与纵臂焊接处往往会出现应力集中，需要通过加强板、拓扑优化等措施来改善其应力分布，而这对于数学求解应力带来了不便.
基于上述考虑，本文以横梁及扭杆的截面尺寸参数作为设计参数，其初始值与各变量范围见表2，建立以杆件的质量和侧倾刚度为目标函数的多目标优化数学模型如下:
minf1(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=m
f2(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=1U
s.t.xmin ≤xi≤xmax
式中m为横梁的质量,m=2(pr+L)tl0ρ,ρ为材料密度；U为轮跳过程中的平均侧倾刚度；p，r，t，L，d2，d1分别代表设计变量x1，x2，x3，x4，x5，x6；l0为横梁长.
表2 截面尺寸设计参数
Tab.2 Section design parameters
变量
p/（°）
t/mm
L/mm
r/mm
d1/mm
d2/mm
初始值
65
5
82
19.5
21
15
下限值
58
4
70
17
19
13
上限值
72
6
90
22
23
17
3.2 优化结果与分析
采用Matlab编写的NSGAⅡ程序,应用上述数学模型,在悬架上下跳动20 mm的过程中,对两个目标函数进行优化.在种群规模为100,交叉概率为0.9,变异概率为0.1时,进行500代进化后得到该多目标优化的Pareto最优解集,如图9所示.
目标函数f1/kg
图9多目标优化Pareto解集
Fig.9 Multiobjective optimization of Pareto solution set
显然，从图9可以看出横梁的质量与平均侧倾刚度的倒数是一对矛盾体，往往不可能使得这两目标同时达到最优，只能在各目标之间进行协调权衡与折中处理，尽可能满足各目标达到最优.
为了使f1，f2尽可能最优，本文取A点.fn=(f1，f2)=(7.86,21.19)；响应的设计变量为：xn=(x1，x2，x3，x4，x5，x6)=(62.86，18.38，4，70，15.25，23).
通过计算得出优化前的质量f′1、平均侧倾角刚度f＇2，f＇n=(f1＇，f2＇)=（9.95，19.13）．
对比优化前后目标函数的值，优化后带稳定杆的横梁总质量减少了10.95%，同时侧倾角刚度增加了10.77%，可以得出优化效果比较理想，为扭转梁开发提供了设计空间.
4 结 论
建立了带横向稳定杆的扭转梁截面参数与其等效在车轮处侧倾角刚度之间的数学模型，与虚拟样机ADAMS仿真的结果保持较高的一致性，验证了模型的正确性.基于该模型，采用改进的非支配排序遗传算法(NSGAⅡ)对侧倾刚度和横梁的质量进行了多目标优化，获得pareto解，结果表明该优化方法是可行的.为补偿弹簧侧倾刚度的不足，提高整车平顺性能提供了可能[11].对扭转梁悬架设计初级阶段总成特性参数的设计、选择具有深刻的理论指导意义，提高了扭转梁悬架的设计效率.
参考文献
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