刘兴

【摘要】数学归纳法作为由特殊概括出一般的一种思维方法，具有推理、研究两种基本意义。本文主要给出了数学归纳法在各种数学问题中的应用举例，旨在利用归纳法发现和提出数学猜想，发现问题的结论，找到解题途径。

【关键词】数学归纳法；完全归纳法；应用举例

1引言

归纳法是从个别的论断归结出一般结论的推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，数学归纳法属于完全归纳法。数学归纳法是一种特殊的论证方法，是解决有关整数问题的一种工具，它使我们能够在一些个别实例的基础上，对某个普遍规律做出论断。虽然说数学归纳法适用于有关整数的问题，但是它在很多数学问题中都有重大的作用，很多不等式问题、几何问题、函数迭代问题、整除性问题用它来解决都能收到很好的效果。

2数学归纳法的应用举例

2.1证明有关自然数的等式

例1：证明前n个自然数的立方和．

证明 1.．

2.假设，

则

命题证明完毕．

2.2证明有关自然数的不等式

例2：（贝奴利不等式）用数学归纳法证明：(1+∂)n>1+n∂，这里∂>-1且不等于0，n 是大于1的自然数.

证明 1.对于n=2，因∂2>0，故不等式正确．

2.假设不等式对于n=k成立，k∈N，即(1+∂)k>1+k∂.

当n=k+1时，(1+∂)>0，从而有(1+∂)k+1>(1+k∂)(1+∂)，则(1+∂)k+1>1+(k+1)∂+k∂2，將不等式右边舍去正项k∂2，可知所求证不等式成立．

2.3在函数迭代中的应用

一些比较简单的函数，它的n次迭代表达式，可以根据定义直接代入计算，归纳出一般规律后，再用数学归纳法予以证明。所以，直接求法……