蔡 萍,唐驾时

(1.闽南师范大学数学与统计学院,福建 漳州 363000;2.湖南大学机械与运载工程学院,湖南 长沙 410082)

本文考虑如下一维复Ginzburg-Landau(CGL)方程:

ut=u+(1+iα)uxx-(1+iβ)|u|2u=0，

(1)

其中,u(x,t)是一复值函数,α,β是实参数.GL方程有着丰富的物理背景,在超导、相变、非平衡流体的调制不稳定性的偏微分方程,以及激光、化学反应的湍流问题的等离子体物理等方面有着广泛的应用,也是众多学者的研究对象.关于GL方程的丰富动力学行为已经有所研究,如新行波解[12],同宿轨解[13]及分岔[14].本文的目标是利用动力系统分支理论,研究方程(1)的分岔,获得其所有类型的精确行波解,并用椭圆函数和双曲函数来表示[15].本文不仅在推导上比文献[12]简单,解的表示形式也比文献[12]简洁.

1 CGL方程的分岔及相图

假设方程(1)具有如下形式的解:

u(x,t)=φ(ξ)ei(kx-ωt),ξ=x-ct，

(2)

其中,φ(·)是实函数,c,k,ω是实数.

把式(2)代入方程(1),分离实部和虚部,则有:

φ″+(c-2kα)φ′+(1-k2)φ-φ3=0,

(3)

αφ″+2kφ′+(ω-αk2)φ-βφ3=0.

(4)

由式(3)、(4)得

φ″-d0φ-2d1φ3=0，

(5)

其中,

方程(5)等价于如下二维平面动力系统:

(6)

对系统(6)首次积分:

(7)

由向量场(6)定义的相轨道决定了方程(1)的行波解,并且系统(6)的同宿到一个奇点的同宿轨道对应方程(1)的孤立波解；连接两个奇点的异宿轨道对应方程(1)的扭波解或反扭波解；周期轨道对应方程(1)的周期波解.下面主要考虑系统(6)的有界解,因为只有有界解在实际物理模型中才有意义.

图1 系统(6)的分岔相图Fig.1 The bifurcation of phase portraits of system (6)

2 CGL方程的精确行波解

本节利用系统(6)的第1个方程和首次积分(7),获得方程(1)的精确行波解.

当d0<0,d1<0时,系统(6)只有一个平衡点(0,0),且为中心,如图1(b)所示.

对应于由H(φ,v)=h,h∈(0,∞)所定义的曲线,系统(6)存在无穷多的周期轨道,由式(7)得:

其中

由系统(6)的……