段丽芬,左明霞,王宏志

(1.通化师范学院数学学院,吉林 通化 134002;2.哈尔滨理工大学应用科学学院,黑龙江 哈尔滨 150080)

1 预备知识

一致凸(UR)点和弱一致凸(WUR)点是Banach空间几何学的重要概念,应用广泛[1-4].Orlicz空间作为一类具体的Banach空间,涵盖内容丰富,对其UR 点和WUR点的刻画十分重要.赋Orlicz范数和Luxemburg范数的Orlicz空间的UR 点和WUR点的判据早已获得[5-8].2010年,李小彦又得到了赋广义Orlicz范数的Orlicz函数空间的UR 点和WUR点的判据[9].本文给出赋广义Orlicz范数的Orlicz序列空间的UR 点和WUR点的判别准则.

设M(u)、N(v)是一对互余的N-函数,p+(u)表示M(u)的右导数.M∈Δ2指存在常数k>0使M(2x)≤kM(x)对较小x成 立.M∈2⟺N∈Δ2.记

SM={u∈R+:∀ε>0,2M(u)<

M(u+ε)+M(u-ε)},

线性集

及闭子空间

关于Orlicz范数:

Luxemburg范数:

‖x‖M=inf{λ>0:ρM(x/λ)≤1},

及广义Orlicz范数:

引理设M是N-函数,M∈Δ2∩2,xn=(xn(i))∈lM,p(1

则

证明由文献[7]中定理2的证明过程易得,略.

2 主要结果及证明

定理1 设M是N-函数,p+(u)连续,x0=(x0(i))∈S(lM,p)(1

(i)x0是UR点;

(ii)x0是WUR点;

(iii) 1)M∈Δ2∩2；2) {k0|x0(i)|:i=1,2,…}中至多有一个元不属于SM;3) {k0|x0(i)|∈SM:i=1,2,…}⊂或者{k0|x0(i)|∈SM:i=1,2,…}⊂这里

证明(i)⟹ (ii)显然.

(ii)⟹ (iii) 首先证明M∈Δ2.若不然,存在z(t)∈lM,phM,p及奇异泛函φ,使得ρM(z)<∞,φ(k0x0-z)≠0.令

则

‖x0+xn‖M,p≥

2‖(x0(1),x0(2),…,x0(n),0,0，…)‖M,p→

2‖x0‖M,p=2,

因此

进而

但

其次证明M∈2.若不然,存在正数列vn↓0,使得

(n=1,2,…).

取正整数mn,使

因M∈2,可取足够大的in,使得

‖(0,…,0,x0(in+1),…,x0(in+mn),

令

则

2mnnN(vn)>n(mn+1)N(vn)>1,

因此

取

再取y0=(y0(i))∈lN,q,使‖y0‖N,q=1,且

令l0>1,使

定义

gn=(y0(1),…,y0(in),vn,…,vn,y0(in+mn+

1),…).

则

于是

…,0,x(in+1),…,x(in+mn),0,…)‖M,p+

因WUR点必为端点,由文献[10]知,2)成立.下面证明3).

因p+(u)连续,有

故

又

则

但x0≠x′,这与x0是WUR点矛盾.

(iii)⟹(i)设

xn=(xn(i))∈lM,p(n=1,2,…),

且

所以

其中

于是

这与‖xn+x0‖M,p→2(n→∞)矛盾.

ε4=1+ε4.

(1)

ρN(p+(k0x0))-ε7=1-ε7;

由定理1立即可得：

定理2 设M是N-函数,p+(u)连续,则对任何1

(i)lM,p局部UR;

(ii)lM,p弱局部UR;

(iii)M∈Δ2∩2且M(u)在[0,πM,p(1)]上严格凸.其中

πM,p(α)=inf{t>0:2p[M(t)]p-1·

N(p+(t))>α}.

[1] 黄建锋,王元恒.迭代逼近m-增生映象的零点[J].数学学报:中文版,2008,51(3):435-446.

[2] 彭春,嵇伟民.一致凸Banach空间中渐近非扩张映射不动点的粘性逼近[J].大学数学,2010,26(5):50-57.

[3] 成娟.一致凸(拟凸)风险测度的基本特征[D].南京:南京理工大学,2013.

[4] 马明娟,邓键,黄庆道，等.非精确条件……