王莉萍, 吴学超, 陈淼森

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

无论是KoszuL代数、d-KoszuL代数,还是分段-KoszuL代数,它们都只有唯一的跳跃度.为了突破这个局限,吕家凤[1-2]提出了λ-KoszuL代数和(P,λ)-KoszuL代数.λ-KoszuL代数是KoszuL代数与d-KoszuL代数的自然推广,(P,λ)-KoszuL代数是KoszuL代数与分段-KoszuL代数的自然推广,它们是两类新型的KoszuL型代数,且具有任意有限多个跳跃度.

KoszuL模、d-KoszuL模和分段-KoszuL模都是“纯粹模”,即它们的极小投射分解中的每一项都是由一个次数生成的分次投射模.那么，能否打破这种纯粹的局限呢? 2010年,章璞研究小组[3]定义了广义d-KoszuL模,由此回答了他们在2004年提出的一个公开的问题.同年,吕家凤[4]定义了广义分段-KoszuL代数(模).受以上思想的启发,本文把(P,λ)-KoszuL对象推广到非纯粹的情形,引入了广义(P,λ)-KoszuL对象,给出了广义(P,λ)-KoszuL代数(模)的定义,研究了(P,λ)-KoszuL代数(模)的一些性质.

本文的主要结果如下:

定理1设A为(P,λ)-KoszuL代数,ξ:0→K→M→N→0为有限生成的A-模短正合列,则

定理2设A为(P,λ)-KoszuL代数,M为(P,λ)-KoszuLA-模,则

2)对所有的i≥0,JiM[-i]为广义(P,λ)-KoszuLA-模.

1 广义(P,λ)-KoszuL代数(模)的定义

其中:λ(1)=d-P+1;λ(n)=sn-1+d-P+1;d>P≥2;sn≥sn-1≥…≥s1,1≤n≤T.

下面给出广义(P,λ)-KoszuL代数(模)的定义.

…→Qn→Qn-1→…→Q1→Q0→M[-s]→0,

2 主要结果的证明

引理1设A是正分次代数,M是有限生成分次A-模,则

证明 因为1)是2)的特例,故下面只需证明2).

必要性 通过假设,M有如下的一个极小分次投射分解:

…→Qn→Qn-1→…→Q1→Q0→M[-s]→0.

充分性 目的就是要证明M有如下的一个极小分次投射分解:

…→Qn→Qn-1→…→Q1→Q0→M[-s]→0.

引理2[5]设A为标准分次代数,Ae:=A⊗kAoPP是A的包络代数.设r是Ae的分次Jacobson根,f:P→Q是有限生成Ae-投射模的模同态.则Imf⊆rQ当且仅当对每一个单A-模S,有Imf(f⊗A1s)⊆J(Q⊗AS)成立.其中,AoPP表示A的反代数.

命题1设A为标准分次代数,运用引理2的记法……