周 勇

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

1 基本性质与主要研究成果

本文主要讨论Camassa-Holm方程的Cauchy问题.Camassa-Holm方程可以写为

(1)

式(1)中:u(x,t)∈R表示波的高度;下标x和t表示对空间和时间变量做偏导数.早在1981年，Fuchsteiner等[1]在研究近似KdV方程时就推导出方程(1).但真正的物理推导是由Camassa等[2]在1993年刻画浅水区域的水波运动时完成的，所以一开始也称方程(1)为浅水波方程(shallowwaterequation).

关于方程(1)的基本性质，Camassa等在文献[2]中有比较全面的讨论,本文再提下面几点：

1)方程(1)是一个完全可积系统，有无穷多个守恒律.例如，如果下面式子的右端都有意义，那么

(2)

2)有波爆破的现象.本文所说的波爆破是Whitham在文献[3]中给的定义：u(x,t)本身有界，而其一阶导数在有限时间内爆破(即‖ux(5,t)‖L∞→∞,t→T).显然，KdV方程也是浅水波方程，但没有波爆破现象.而波爆破是可以观察到的一个物理现象，所以从这个意义上说，Camassa-Holm方程是一个比KdV方程更合适的浅水波模型.

3)尖峰孤立波的存在性.以前的孤立子(soliton，是一种行波)大都是光滑的，但这里的孤立波是有尖峰的，如e-|x-t|,后来称之为peakon.

关于Camassa-Holm方程的数学理论研究(从方程的角度)是从1997年开始的，到现在已有16年的历史，众多数学家在这方面做了很多重要的研究工作.下面列出一些主要成果.

2)弱解的全局存在性.Camassa-Holm方程可以改写成如下的形式：

(3)

图1 y0(x)的图像

2004年，McKean[11]用反证法又给出了一个简化的证明，假设具有以上性质的初始值所对应的解全局存在，从而导出矛盾.反证法有它自身的优点，但很难让人们看清其内在……