胡军浩，晏 磊

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

映射动力系统具有比常微分方程系统更复杂的动力学性质，例如，一维Logistics映射就可产生混沌现象，而三维自治常微分系统才能产生混沌[1,2]. 在经济学和生物学中，许多数学模型可以用可化为叠映射的动力系统来表示，而其中一大类模型均可利用具有参数零化的不完整结构形式的二阶二次差分方程来描述[2-5]. 文献[2]基于一定的假设对二阶二次差分方程进行简化，应用二维连续不可逆映射系统的关键集理论重点探讨一类二阶二次差分方程的全局动力学性质. 本文将在文献[2]的基础上，运用动力学理论，重点探讨一类二维动力系统的局部稳定性与分叉性质，揭示系统的局部动力学行为，为系统在特定参数取值下混沌行为存在性的证明打下基础.

1 模型重述

考虑如下二阶二次差分方程

当a00=0，a01≠0，a10≠0，a02≠0，a20≠0，x=xn，y=xn-1时，可以将其简化为：

2 不动点的稳定性与分叉

考虑文献[2]中提出的二维动力系统模型：

(1)

系统(1)的Jacobian矩阵

J(x,y)=

(2)

特征多项式为：

f(λ)=λ2+(2a1x+a1y-a1)λ+

(a1x+2a2y-a2).

(3)

根据Jury条件和二维系统分叉定理[6]，关于系统(1)的2个不动点的局部稳定性，有如下定理1.

定理1 (E0的局部稳定性)

(1)当a2>-1且a1<|1-a2|时，系统(1)在不动点E0=(0,0)处渐近稳定；

(2)当a1=1-a2时，系统在E0处产生Fold分叉；

(3)当a1=a2-1时，系统在E0处产生Flip分叉;

(4)当a2=-1且-2

证明系统(1)在边界平衡点E0=(0,0)处的Jacobian矩阵

(4)

对应的特征多项式f(λ)=λ2-a1λ-a2. 根据Jury条件[6]：

当参数取值使得f(1)=1-a1-a2>0，f(-1)=1+a1-a2>0，1-f(0)=1+a2>0时，平衡点E0稳定，即有定理1中的(1)；

当f(1)=1-a1-a2=0时，系统在E0处产生Fold分叉，即有定理1中的(2)；

当f(-1)=1+a1-a2=0时，系统在E0处产生Flip分叉，即有定理1中的(3)；

定理2(E1的局部稳定性)

(2)当a1+a2=1时，系统在E1处产生Fold分叉；